Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 607 / 446
↖ ↑ ↗
← N 22.593726°
E 33.398438°		 ← 36.092 km → N 22.593726°
E 33.750000°		 →
↑
36.134 km
↓
↑
36.134 km
↓
N 22.268764°
E 33.398438°		 ← 36.176 km →
1 305.68 km²		 N 22.268764°
E 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59326171875 y=0.43603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59326171875 × 210)
    floor (0.59326171875 × 1024)
    floor (607.5)     		tx = 607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43603515625 × 210)
    floor (0.43603515625 × 1024)
    floor (446.5)     		ty = 446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 607 / 446 ti = "10/607/446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/607/446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 607 ÷ 210
    607 ÷ 1024     		x = 0.5927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 446 ÷ 210
    446 ÷ 1024     		y = 0.435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5927734375 × 2 - 1) × π
    0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435546875 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.404970927990234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58291270} λ = 0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404970927990234))-π/2
    2×atan(1.49925891295343)-π/2
    2×0.982565618446718-π/2
    1.96513123689344-1.57079632675     		φ = 0.39433491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39433491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.593726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 607 KachelY 446 0.58291270 0.39433491 33.398438 22.593726
    Oben rechts KachelX + 1 608 KachelY 446 0.58904862 0.39433491 33.750000 22.593726
    Unten links KachelX 607 KachelY + 1 447 0.58291270 0.38866325 33.398438 22.268764
    Unten rechts KachelX + 1 608 KachelY + 1 447 0.58904862 0.38866325 33.750000 22.268764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39433491-0.38866325) × R
    0.00567165999999997 × 6371000     		dl = 36134.1458599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39433491-0.38866325) × R
    0.00567165999999997 × 6371000     		dr = 36134.1458599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58291270-0.58904862) × cos(0.39433491) × R
    0.00613592000000007 × 0.923252292281228 × 6371000     		do = 36091.7290496751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58291270-0.58904862) × cos(0.38866325) × R
    0.00613592000000007 × 0.925416450209737 × 6371000     		du = 36176.3301952444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39433491)-sin(0.38866325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923252292281228-0.925416450209737)×R²
    abs(0.58904862-0.58291270)×0.00216415792850888×R²
    0.00613592000000007×0.00216415792850888×6371000²
    0.00613592000000007×0.00216415792850888×40589641000000     		ar = 1305675796.94129m²