Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60699 / 55918
↖ ↑ ↗
← N 25.527572°
W 13.285217°		 ← 275.55 m → N 25.527572°
W 13.282471°		 →
↑
275.61 m
↓
↑
275.61 m
↓
N 25.525093°
W 13.285217°		 ← 275.56 m →
75 946 m²		 N 25.525093°
W 13.282471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463100433349609 y=0.426624298095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463100433349609 × 217)
    floor (0.463100433349609 × 131072)
    floor (60699.5)     		tx = 60699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426624298095703 × 217)
    floor (0.426624298095703 × 131072)
    floor (55918.5)     		ty = 55918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60699 / 55918 ti = "17/60699/55918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60699/55918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60699 ÷ 217
    60699 ÷ 131072     		x = 0.463096618652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55918 ÷ 217
    55918 ÷ 131072     		y = 0.426620483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463096618652344 × 2 - 1) × π
    -0.0738067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23187078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426620483398438 × 2 - 1) × π
    0.146759033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.4610571005457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23187078} λ = -0.23187078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4610571005457))-π/2
    2×atan(1.5857493958513)-π/2
    2×1.00816825114859-π/2
    2.01633650229717-1.57079632675     		φ = 0.44554018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23187078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.285217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44554018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.527572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60699 KachelY 55918 -0.23187078 0.44554018 -13.285217 25.527572
    Oben rechts KachelX + 1 60700 KachelY 55918 -0.23182285 0.44554018 -13.282471 25.527572
    Unten links KachelX 60699 KachelY + 1 55919 -0.23187078 0.44549692 -13.285217 25.525093
    Unten rechts KachelX + 1 60700 KachelY + 1 55919 -0.23182285 0.44549692 -13.282471 25.525093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44554018-0.44549692) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dl = 275.609459999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44554018-0.44549692) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dr = 275.609459999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23187078--0.23182285) × cos(0.44554018) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.902378008981279 × 6371000     		do = 275.551980649891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23187078--0.23182285) × cos(0.44549692) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.902396650834464 × 6371000     		du = 275.557673164022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44554018)-sin(0.44549692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902378008981279-0.902396650834464)×R²
    abs(-0.23182285--0.23187078)×1.86418531851196e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86418531851196e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86418531851196e-05×40589641000000     		ar = 75945.5170561272m²