Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60698 / 56150
↖ ↑ ↗
← N 24.951200°
W 13.287964°		 ← 276.92 m → N 24.951200°
W 13.285217°		 →
↑
276.95 m
↓
↑
276.95 m
↓
N 24.948709°
W 13.287964°		 ← 276.93 m →
76 693 m²		 N 24.948709°
W 13.285217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463092803955078 y=0.428394317626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463092803955078 × 217)
    floor (0.463092803955078 × 131072)
    floor (60698.5)     		tx = 60698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428394317626953 × 217)
    floor (0.428394317626953 × 131072)
    floor (56150.5)     		ty = 56150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60698 / 56150 ti = "17/60698/56150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60698/56150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60698 ÷ 217
    60698 ÷ 131072     		x = 0.463088989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56150 ÷ 217
    56150 ÷ 131072     		y = 0.428390502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463088989257812 × 2 - 1) × π
    -0.073822021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23191872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428390502929688 × 2 - 1) × π
    0.143218994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.449935739833847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23191872} λ = -0.23191872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449935739833847))-π/2
    2×atan(1.56821140872655)-π/2
    2×1.00313845648097-π/2
    2.00627691296195-1.57079632675     		φ = 0.43548059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23191872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.287964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43548059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.951200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60698 KachelY 56150 -0.23191872 0.43548059 -13.287964 24.951200
    Oben rechts KachelX + 1 60699 KachelY 56150 -0.23187078 0.43548059 -13.285217 24.951200
    Unten links KachelX 60698 KachelY + 1 56151 -0.23191872 0.43543712 -13.287964 24.948709
    Unten rechts KachelX + 1 60699 KachelY + 1 56151 -0.23187078 0.43543712 -13.285217 24.948709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43548059-0.43543712) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dl = 276.947369999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43548059-0.43543712) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dr = 276.947369999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23191872--0.23187078) × cos(0.43548059) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.90666741195393 × 6371000     		do = 276.919565229892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23191872--0.23187078) × cos(0.43543712) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906685748750963 × 6371000     		du = 276.925165759696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43548059)-sin(0.43543712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90666741195393-0.906685748750963)×R²
    abs(-0.23187078--0.23191872)×1.833679703378e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.833679703378e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.833679703378e-05×40589641000000     		ar = 76692.9208300497m²