Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60696 / 56152
↖ ↑ ↗
← N 24.946219°
W 13.293457°		 ← 276.87 m → N 24.946219°
W 13.290711°		 →
↑
276.95 m
↓
↑
276.95 m
↓
N 24.943728°
W 13.293457°		 ← 276.88 m →
76 680 m²		 N 24.943728°
W 13.290711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463077545166016 y=0.428409576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463077545166016 × 217)
    floor (0.463077545166016 × 131072)
    floor (60696.5)     		tx = 60696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428409576416016 × 217)
    floor (0.428409576416016 × 131072)
    floor (56152.5)     		ty = 56152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60696 / 56152 ti = "17/60696/56152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60696/56152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60696 ÷ 217
    60696 ÷ 131072     		x = 0.46307373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56152 ÷ 217
    56152 ÷ 131072     		y = 0.42840576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0738525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23201459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42840576171875 × 2 - 1) × π
    0.1431884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.449839866034607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23201459} λ = -0.23201459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449839866034607))-π/2
    2×atan(1.56806106554788)-π/2
    2×1.00309499277732-π/2
    2.00618998555463-1.57079632675     		φ = 0.43539366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23201459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.293457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43539366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.946219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60696 KachelY 56152 -0.23201459 0.43539366 -13.293457 24.946219
    Oben rechts KachelX + 1 60697 KachelY 56152 -0.23196666 0.43539366 -13.290711 24.946219
    Unten links KachelX 60696 KachelY + 1 56153 -0.23201459 0.43535019 -13.293457 24.943728
    Unten rechts KachelX + 1 60697 KachelY + 1 56153 -0.23196666 0.43535019 -13.290711 24.943728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43539366-0.43535019) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dl = 276.947369999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43539366-0.43535019) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dr = 276.947369999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23201459--0.23196666) × cos(0.43539366) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.906704079617013 × 6371000     		do = 276.872998361142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23201459--0.23196666) × cos(0.43535019) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.906722412987786 × 6371000     		du = 276.878596676458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43539366)-sin(0.43535019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906704079617013-0.906722412987786)×R²
    abs(-0.23196666--0.23201459)×1.83333707723943e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.83333707723943e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.83333707723943e-05×40589641000000     		ar = 76680.0239515115m²