Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60696 / 56040
↖ ↑ ↗
← N 25.224820°
W 13.293457°		 ← 276.24 m → N 25.224820°
W 13.290711°		 →
↑
276.31 m
↓
↑
276.31 m
↓
N 25.222336°
W 13.293457°		 ← 276.25 m →
76 330 m²		 N 25.222336°
W 13.290711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463077545166016 y=0.427555084228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463077545166016 × 217)
    floor (0.463077545166016 × 131072)
    floor (60696.5)     		tx = 60696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427555084228516 × 217)
    floor (0.427555084228516 × 131072)
    floor (56040.5)     		ty = 56040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60696 / 56040 ti = "17/60696/56040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60696/56040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60696 ÷ 217
    60696 ÷ 131072     		x = 0.46307373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56040 ÷ 217
    56040 ÷ 131072     		y = 0.42755126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0738525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23201459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42755126953125 × 2 - 1) × π
    0.1448974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.455208798792053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23201459} λ = -0.23201459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455208798792053))-π/2
    2×atan(1.57650252049299)-π/2
    2×1.00552624604559-π/2
    2.01105249209117-1.57079632675     		φ = 0.44025617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23201459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.293457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44025617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.224820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60696 KachelY 56040 -0.23201459 0.44025617 -13.293457 25.224820
    Oben rechts KachelX + 1 60697 KachelY 56040 -0.23196666 0.44025617 -13.290711 25.224820
    Unten links KachelX 60696 KachelY + 1 56041 -0.23201459 0.44021280 -13.293457 25.222336
    Unten rechts KachelX + 1 60697 KachelY + 1 56041 -0.23196666 0.44021280 -13.290711 25.222336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44025617-0.44021280) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dl = 276.310269999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44025617-0.44021280) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dr = 276.310269999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23201459--0.23196666) × cos(0.44025617) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.904642520622101 × 6371000     		do = 276.243476521491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23201459--0.23196666) × cos(0.44021280) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.904661002817167 × 6371000     		du = 276.249120282095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44025617)-sin(0.44021280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904642520622101-0.904661002817167)×R²
    abs(-0.23196666--0.23201459)×1.84821950661718e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84821950661718e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84821950661718e-05×40589641000000     		ar = 76329.6893098446m²