Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60696 / 26376
↖ ↑ ↗
← N 72.600551°
W 13.293457°		 ← 91.31 m → N 72.600551°
W 13.290711°		 →
↑
91.36 m
↓
↑
91.36 m
↓
N 72.599730°
W 13.293457°		 ← 91.32 m →
8 343 m²		 N 72.599730°
W 13.290711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463077545166016 y=0.201236724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463077545166016 × 217)
    floor (0.463077545166016 × 131072)
    floor (60696.5)     		tx = 60696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201236724853516 × 217)
    floor (0.201236724853516 × 131072)
    floor (26376.5)     		ty = 26376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60696 / 26376 ti = "17/60696/26376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60696/26376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60696 ÷ 217
    60696 ÷ 131072     		x = 0.46307373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26376 ÷ 217
    26376 ÷ 131072     		y = 0.20123291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0738525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23201459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20123291015625 × 2 - 1) × π
    0.5975341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8772089891214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23201459} λ = -0.23201459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8772089891214))-π/2
    2×atan(6.5352394601526)-π/2
    2×1.41895749097423-π/2
    2.83791498194845-1.57079632675     		φ = 1.26711866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23201459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.293457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26711866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.600551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60696 KachelY 26376 -0.23201459 1.26711866 -13.293457 72.600551
    Oben rechts KachelX + 1 60697 KachelY 26376 -0.23196666 1.26711866 -13.290711 72.600551
    Unten links KachelX 60696 KachelY + 1 26377 -0.23201459 1.26710432 -13.293457 72.599730
    Unten rechts KachelX + 1 60697 KachelY + 1 26377 -0.23196666 1.26710432 -13.290711 72.599730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26711866-1.26710432) × R
    1.43399999998906e-05 × 6371000     		dl = 91.3601399993027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26711866-1.26710432) × R
    1.43399999998906e-05 × 6371000     		dr = 91.3601399993027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23201459--0.23196666) × cos(1.26711866) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.299031609537828 × 6371000     		do = 91.3128993226414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23201459--0.23196666) × cos(1.26710432) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.299045293354658 × 6371000     		du = 91.3170778407268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26711866)-sin(1.26710432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299031609537828-0.299045293354658)×R²
    abs(-0.23196666--0.23201459)×1.36838168299791e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.36838168299791e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.36838168299791e-05×40589641000000     		ar = 8342.55014095155m²