Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60695 / 56027
↖ ↑ ↗
← N 25.257117°
W 13.296204°		 ← 276.23 m → N 25.257117°
W 13.293457°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
N 25.254633°
W 13.296204°		 ← 276.23 m →
76 308 m²		 N 25.254633°
W 13.293457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463069915771484 y=0.427455902099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463069915771484 × 217)
    floor (0.463069915771484 × 131072)
    floor (60695.5)     		tx = 60695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427455902099609 × 217)
    floor (0.427455902099609 × 131072)
    floor (56027.5)     		ty = 56027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60695 / 56027 ti = "17/60695/56027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60695/56027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60695 ÷ 217
    60695 ÷ 131072     		x = 0.463066101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56027 ÷ 217
    56027 ÷ 131072     		y = 0.427452087402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463066101074219 × 2 - 1) × π
    -0.0738677978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23206253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427452087402344 × 2 - 1) × π
    0.145095825195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.455831978487114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23206253} λ = -0.23206253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455831978487114))-π/2
    2×atan(1.57748527103626)-π/2
    2×1.00580808602899-π/2
    2.01161617205798-1.57079632675     		φ = 0.44081985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23206253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.296204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44081985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.257117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60695 KachelY 56027 -0.23206253 0.44081985 -13.296204 25.257117
    Oben rechts KachelX + 1 60696 KachelY 56027 -0.23201459 0.44081985 -13.293457 25.257117
    Unten links KachelX 60695 KachelY + 1 56028 -0.23206253 0.44077649 -13.296204 25.254633
    Unten rechts KachelX + 1 60696 KachelY + 1 56028 -0.23201459 0.44077649 -13.293457 25.254633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44081985-0.44077649) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dl = 276.246559999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44081985-0.44077649) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dr = 276.246559999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23206253--0.23201459) × cos(0.44081985) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.904402152722431 × 6371000     		do = 276.22769675282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23206253--0.23201459) × cos(0.44077649) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.904420652763984 × 6371000     		du = 276.233347141702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44081985)-sin(0.44077649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904402152722431-0.904420652763984)×R²
    abs(-0.23201459--0.23206253)×1.85000415522385e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85000415522385e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85000415522385e-05×40589641000000     		ar = 76307.7314667924m²