Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60695 / 14099
↖ ↑ ↗
← N 71.040175°
E153.407593°		 ← 198.47 m → N 71.040175°
E153.413086°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
N 71.038391°
E153.407593°		 ← 198.49 m →
39 389 m²		 N 71.038391°
E153.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.926139831542969 y=0.215141296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.926139831542969 × 216)
    floor (0.926139831542969 × 65536)
    floor (60695.5)     		tx = 60695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215141296386719 × 216)
    floor (0.215141296386719 × 65536)
    floor (14099.5)     		ty = 14099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60695 / 14099 ti = "16/60695/14099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60695/14099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60695 ÷ 216
    60695 ÷ 65536     		x = 0.926132202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14099 ÷ 216
    14099 ÷ 65536     		y = 0.215133666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.926132202148438 × 2 - 1) × π
    0.852264404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.67746759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215133666992188 × 2 - 1) × π
    0.569732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78986795801366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67746759} λ = 2.67746759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78986795801366))-π/2
    2×atan(5.98866165939336)-π/2
    2×1.40534064327516-π/2
    2.81068128655032-1.57079632675     		φ = 1.23988496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67746759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.407593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23988496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.040175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60695 KachelY 14099 2.67746759 1.23988496 153.407593 71.040175
    Oben rechts KachelX + 1 60696 KachelY 14099 2.67756347 1.23988496 153.413086 71.040175
    Unten links KachelX 60695 KachelY + 1 14100 2.67746759 1.23985381 153.407593 71.038391
    Unten rechts KachelX + 1 60696 KachelY + 1 14100 2.67756347 1.23985381 153.413086 71.038391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23988496-1.23985381) × R
    3.11499999998688e-05 × 6371000     		dl = 198.456649999164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23988496-1.23985381) × R
    3.11499999998688e-05 × 6371000     		dr = 198.456649999164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67746759-2.67756347) × cos(1.23988496) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324905085280623 × 6371000     		do = 198.468752203065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67746759-2.67756347) × cos(1.23985381) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324934545130469 × 6371000     		du = 198.486747795943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23988496)-sin(1.23985381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324905085280623-0.324934545130469)×R²
    abs(2.67756347-2.67746759)×2.94598498454812e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.94598498454812e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.94598498454812e-05×40589641000000     		ar = 39389.2293674313m²