Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60694 / 82677
↖ ↑ ↗
← S 42.530820°
W 13.298950°		 ← 225.07 m → S 42.530820°
W 13.296204°		 →
↑
225.02 m
↓
↑
225.02 m
↓
S 42.532844°
W 13.298950°		 ← 225.07 m →
50 646 m²		 S 42.532844°
W 13.296204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463062286376953 y=0.630779266357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463062286376953 × 217)
    floor (0.463062286376953 × 131072)
    floor (60694.5)     		tx = 60694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630779266357422 × 217)
    floor (0.630779266357422 × 131072)
    floor (82677.5)     		ty = 82677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60694 / 82677 ti = "17/60694/82677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60694/82677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60694 ÷ 217
    60694 ÷ 131072     		x = 0.463058471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82677 ÷ 217
    82677 ÷ 131072     		y = 0.630775451660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463058471679688 × 2 - 1) × π
    -0.073883056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23211047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630775451660156 × 2 - 1) × π
    -0.261550903320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.821686396387383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23211047} λ = -0.23211047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821686396387383))-π/2
    2×atan(0.439689538082057)-π/2
    2×0.414246739324849-π/2
    0.828493478649699-1.57079632675     		φ = -0.74230285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23211047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.298950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74230285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.530820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60694 KachelY 82677 -0.23211047 -0.74230285 -13.298950 -42.530820
    Oben rechts KachelX + 1 60695 KachelY 82677 -0.23206253 -0.74230285 -13.296204 -42.530820
    Unten links KachelX 60694 KachelY + 1 82678 -0.23211047 -0.74233817 -13.298950 -42.532844
    Unten rechts KachelX + 1 60695 KachelY + 1 82678 -0.23206253 -0.74233817 -13.296204 -42.532844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74230285--0.74233817) × R
    3.53200000000609e-05 × 6371000     		dl = 225.023720000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74230285--0.74233817) × R
    3.53200000000609e-05 × 6371000     		dr = 225.023720000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23211047--0.23206253) × cos(-0.74230285) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.736913818092594 × 6371000     		do = 225.072448207269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23211047--0.23206253) × cos(-0.74233817) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.736889941782544 × 6371000     		du = 225.065155767604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74230285)-sin(-0.74233817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736913818092594-0.736889941782544)×R²
    abs(-0.23206253--0.23211047)×2.3876310050075e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3876310050075e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3876310050075e-05×40589641000000     		ar = 50645.8190845367m²