Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60694 / 26375
↖ ↑ ↗
← N 72.601372°
W 13.298950°		 ← 91.33 m → N 72.601372°
W 13.296204°		 →
↑
91.30 m
↓
↑
91.30 m
↓
N 72.600551°
W 13.298950°		 ← 91.33 m →
8 338 m²		 N 72.600551°
W 13.296204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463062286376953 y=0.201229095458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463062286376953 × 217)
    floor (0.463062286376953 × 131072)
    floor (60694.5)     		tx = 60694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201229095458984 × 217)
    floor (0.201229095458984 × 131072)
    floor (26375.5)     		ty = 26375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60694 / 26375 ti = "17/60694/26375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60694/26375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60694 ÷ 217
    60694 ÷ 131072     		x = 0.463058471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26375 ÷ 217
    26375 ÷ 131072     		y = 0.201225280761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463058471679688 × 2 - 1) × π
    -0.073883056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23211047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201225280761719 × 2 - 1) × π
    0.597549438476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.87725692602102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23211047} λ = -0.23211047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87725692602102))-π/2
    2×atan(6.53555274677953)-π/2
    2×1.41896465813454-π/2
    2.83792931626907-1.57079632675     		φ = 1.26713299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23211047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.298950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26713299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.601372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60694 KachelY 26375 -0.23211047 1.26713299 -13.298950 72.601372
    Oben rechts KachelX + 1 60695 KachelY 26375 -0.23206253 1.26713299 -13.296204 72.601372
    Unten links KachelX 60694 KachelY + 1 26376 -0.23211047 1.26711866 -13.298950 72.600551
    Unten rechts KachelX + 1 60695 KachelY + 1 26376 -0.23206253 1.26711866 -13.296204 72.600551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26713299-1.26711866) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dl = 91.2964299996899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26713299-1.26711866) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dr = 91.2964299996899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23211047--0.23206253) × cos(1.26713299) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.299017935201981 × 6371000     		do = 91.327774132383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23211047--0.23206253) × cos(1.26711866) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.299031609537828 × 6371000     		du = 91.3319506265279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26713299)-sin(1.26711866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299017935201981-0.299031609537828)×R²
    abs(-0.23206253--0.23211047)×1.36743358465918e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.36743358465918e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.36743358465918e-05×40589641000000     		ar = 8338.09038763405m²