Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60692 / 26388
↖ ↑ ↗
← N 72.590692°
W 13.304443°		 ← 91.38 m → N 72.590692°
W 13.301696°		 →
↑
91.36 m
↓
↑
91.36 m
↓
N 72.589871°
W 13.304443°		 ← 91.39 m →
8 349 m²		 N 72.589871°
W 13.301696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463047027587891 y=0.201328277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463047027587891 × 217)
    floor (0.463047027587891 × 131072)
    floor (60692.5)     		tx = 60692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201328277587891 × 217)
    floor (0.201328277587891 × 131072)
    floor (26388.5)     		ty = 26388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60692 / 26388 ti = "17/60692/26388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60692/26388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60692 ÷ 217
    60692 ÷ 131072     		x = 0.463043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26388 ÷ 217
    26388 ÷ 131072     		y = 0.201324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463043212890625 × 2 - 1) × π
    -0.07391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23220634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201324462890625 × 2 - 1) × π
    0.59735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87663374632596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23220634} λ = -0.23220634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87663374632596))-π/2
    2×atan(6.5314811917987)-π/2
    2×1.41887145947371-π/2
    2.83774291894742-1.57079632675     		φ = 1.26694659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23220634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.304443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26694659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.590692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60692 KachelY 26388 -0.23220634 1.26694659 -13.304443 72.590692
    Oben rechts KachelX + 1 60693 KachelY 26388 -0.23215840 1.26694659 -13.301696 72.590692
    Unten links KachelX 60692 KachelY + 1 26389 -0.23220634 1.26693225 -13.304443 72.589871
    Unten rechts KachelX + 1 60693 KachelY + 1 26389 -0.23215840 1.26693225 -13.301696 72.589871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26694659-1.26693225) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dl = 91.3601400007174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26694659-1.26693225) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dr = 91.3601400007174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23220634--0.23215840) × cos(1.26694659) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.299195801738624 × 6371000     		do = 91.3820991509584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23220634--0.23215840) × cos(1.26693225) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.299209484817379 × 6371000     		du = 91.3862783154127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26694659)-sin(1.26693225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299195801738624-0.299209484817379)×R²
    abs(-0.23215840--0.23220634)×1.36830787550446e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.36830787550446e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.36830787550446e-05×40589641000000     		ar = 8348.87227658222m²