Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60691 / 41171
↖ ↑ ↗
← N 55.449268°
W 13.307190°		 ← 173.22 m → N 55.449268°
W 13.304443°		 →
↑
173.16 m
↓
↑
173.16 m
↓
N 55.447711°
W 13.307190°		 ← 173.22 m →
29 996 m²		 N 55.447711°
W 13.304443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463039398193359 y=0.314113616943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463039398193359 × 217)
    floor (0.463039398193359 × 131072)
    floor (60691.5)     		tx = 60691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314113616943359 × 217)
    floor (0.314113616943359 × 131072)
    floor (41171.5)     		ty = 41171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60691 / 41171 ti = "17/60691/41171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60691/41171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60691 ÷ 217
    60691 ÷ 131072     		x = 0.463035583496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41171 ÷ 217
    41171 ÷ 131072     		y = 0.314109802246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463035583496094 × 2 - 1) × π
    -0.0739288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23225428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314109802246094 × 2 - 1) × π
    0.371780395507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.16798255924267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23225428} λ = -0.23225428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16798255924267))-π/2
    2×atan(3.21549901171587)-π/2
    2×1.269284315414-π/2
    2.53856863082801-1.57079632675     		φ = 0.96777230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23225428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.307190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96777230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.449268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60691 KachelY 41171 -0.23225428 0.96777230 -13.307190 55.449268
    Oben rechts KachelX + 1 60692 KachelY 41171 -0.23220634 0.96777230 -13.304443 55.449268
    Unten links KachelX 60691 KachelY + 1 41172 -0.23225428 0.96774512 -13.307190 55.447711
    Unten rechts KachelX + 1 60692 KachelY + 1 41172 -0.23220634 0.96774512 -13.304443 55.447711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96777230-0.96774512) × R
    2.71800000000155e-05 × 6371000     		dl = 173.163780000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96777230-0.96774512) × R
    2.71800000000155e-05 × 6371000     		dr = 173.163780000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23225428--0.23220634) × cos(0.96777230) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567135724853554 × 6371000     		do = 173.21784844382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23225428--0.23220634) × cos(0.96774512) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567158110753893 × 6371000     		du = 173.224685673996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96777230)-sin(0.96774512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567135724853554-0.567158110753893)×R²
    abs(-0.23220634--0.23225428)×2.23859003386506e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23859003386506e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23859003386506e-05×40589641000000     		ar = 29995.6493820024m²