Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60691 / 40212
↖ ↑ ↗
← N 56.915000°
W 13.307190°		 ← 166.73 m → N 56.915000°
W 13.304443°		 →
↑
166.67 m
↓
↑
166.67 m
↓
N 56.913501°
W 13.307190°		 ← 166.73 m →
27 788 m²		 N 56.913501°
W 13.304443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463039398193359 y=0.306797027587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463039398193359 × 217)
    floor (0.463039398193359 × 131072)
    floor (60691.5)     		tx = 60691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306797027587891 × 217)
    floor (0.306797027587891 × 131072)
    floor (40212.5)     		ty = 40212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60691 / 40212 ti = "17/60691/40212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60691/40212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60691 ÷ 217
    60691 ÷ 131072     		x = 0.463035583496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40212 ÷ 217
    40212 ÷ 131072     		y = 0.306793212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463035583496094 × 2 - 1) × π
    -0.0739288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23225428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306793212890625 × 2 - 1) × π
    0.38641357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2139540459783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23225428} λ = -0.23225428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2139540459783))-π/2
    2×atan(3.36677073463237)-π/2
    2×1.2820752352259-π/2
    2.56415047045181-1.57079632675     		φ = 0.99335414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23225428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.307190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99335414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.915000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60691 KachelY 40212 -0.23225428 0.99335414 -13.307190 56.915000
    Oben rechts KachelX + 1 60692 KachelY 40212 -0.23220634 0.99335414 -13.304443 56.915000
    Unten links KachelX 60691 KachelY + 1 40213 -0.23225428 0.99332798 -13.307190 56.913501
    Unten rechts KachelX + 1 60692 KachelY + 1 40213 -0.23220634 0.99332798 -13.304443 56.913501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99335414-0.99332798) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dl = 166.665359999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99335414-0.99332798) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dr = 166.665359999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23225428--0.23220634) × cos(0.99335414) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54588263121605 × 6371000     		do = 166.726606592296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23225428--0.23220634) × cos(0.99332798) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545904549490157 × 6371000     		du = 166.733300997385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99335414)-sin(0.99332798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54588263121605-0.545904549490157)×R²
    abs(-0.23220634--0.23225428)×2.19182741064694e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19182741064694e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19182741064694e-05×40589641000000     		ar = 27788.1077736128m²