Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60691 / 26389
↖ ↑ ↗
← N 72.589871°
W 13.307190°		 ← 91.39 m → N 72.589871°
W 13.304443°		 →
↑
91.36 m
↓
↑
91.36 m
↓
N 72.589049°
W 13.307190°		 ← 91.39 m →
8 349 m²		 N 72.589049°
W 13.304443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463039398193359 y=0.201335906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463039398193359 × 217)
    floor (0.463039398193359 × 131072)
    floor (60691.5)     		tx = 60691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201335906982422 × 217)
    floor (0.201335906982422 × 131072)
    floor (26389.5)     		ty = 26389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60691 / 26389 ti = "17/60691/26389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60691/26389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60691 ÷ 217
    60691 ÷ 131072     		x = 0.463035583496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26389 ÷ 217
    26389 ÷ 131072     		y = 0.201332092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463035583496094 × 2 - 1) × π
    -0.0739288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23225428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201332092285156 × 2 - 1) × π
    0.597335815429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.87658580942634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23225428} λ = -0.23225428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87658580942634))-π/2
    2×atan(6.53116810034481)-π/2
    2×1.41886428805019-π/2
    2.83772857610038-1.57079632675     		φ = 1.26693225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23225428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.307190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26693225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.589871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60691 KachelY 26389 -0.23225428 1.26693225 -13.307190 72.589871
    Oben rechts KachelX + 1 60692 KachelY 26389 -0.23220634 1.26693225 -13.304443 72.589871
    Unten links KachelX 60691 KachelY + 1 26390 -0.23225428 1.26691791 -13.307190 72.589049
    Unten rechts KachelX + 1 60692 KachelY + 1 26390 -0.23220634 1.26691791 -13.304443 72.589049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26693225-1.26691791) × R
    1.43399999998906e-05 × 6371000     		dl = 91.3601399993027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26693225-1.26691791) × R
    1.43399999998906e-05 × 6371000     		dr = 91.3601399993027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23225428--0.23220634) × cos(1.26693225) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.299209484817379 × 6371000     		do = 91.3862783153597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23225428--0.23220634) × cos(1.26691791) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.299223167834606 × 6371000     		du = 91.3904574610217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26693225)-sin(1.26691791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299209484817379-0.299223167834606)×R²
    abs(-0.23220634--0.23225428)×1.36830172267621e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36830172267621e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36830172267621e-05×40589641000000     		ar = 8349.25408481722m²