Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60690 / 82679
↖ ↑ ↗
← S 42.534868°
W 13.309937°		 ← 225.06 m → S 42.534868°
W 13.307190°		 →
↑
225.02 m
↓
↑
225.02 m
↓
S 42.536892°
W 13.309937°		 ← 225.05 m →
50 643 m²		 S 42.536892°
W 13.307190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463031768798828 y=0.630794525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463031768798828 × 217)
    floor (0.463031768798828 × 131072)
    floor (60690.5)     		tx = 60690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630794525146484 × 217)
    floor (0.630794525146484 × 131072)
    floor (82679.5)     		ty = 82679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60690 / 82679 ti = "17/60690/82679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60690/82679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60690 ÷ 217
    60690 ÷ 131072     		x = 0.463027954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82679 ÷ 217
    82679 ÷ 131072     		y = 0.630790710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463027954101562 × 2 - 1) × π
    -0.073944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23230222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630790710449219 × 2 - 1) × π
    -0.261581420898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.821782270186623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23230222} λ = -0.23230222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821782270186623))-π/2
    2×atan(0.439647385396256)-π/2
    2×0.414211415105775-π/2
    0.828422830211551-1.57079632675     		φ = -0.74237350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23230222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.309937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74237350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.534868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60690 KachelY 82679 -0.23230222 -0.74237350 -13.309937 -42.534868
    Oben rechts KachelX + 1 60691 KachelY 82679 -0.23225428 -0.74237350 -13.307190 -42.534868
    Unten links KachelX 60690 KachelY + 1 82680 -0.23230222 -0.74240882 -13.309937 -42.536892
    Unten rechts KachelX + 1 60691 KachelY + 1 82680 -0.23225428 -0.74240882 -13.307190 -42.536892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74237350--0.74240882) × R
    3.53199999999498e-05 × 6371000     		dl = 225.02371999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74237350--0.74240882) × R
    3.53199999999498e-05 × 6371000     		dr = 225.02371999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23230222--0.23225428) × cos(-0.74237350) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.736866057792835 × 6371000     		do = 225.057860982242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23230222--0.23225428) × cos(-0.74240882) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.73684217964401 × 6371000     		du = 225.050567980968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74237350)-sin(-0.74240882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736866057792835-0.73684217964401)×R²
    abs(-0.23225428--0.23230222)×2.387814882443e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.387814882443e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.387814882443e-05×40589641000000     		ar = 50642.536549483m²