Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60690 / 40211
↖ ↑ ↗
← N 56.916499°
W 13.309937°		 ← 166.72 m → N 56.916499°
W 13.307190°		 →
↑
166.73 m
↓
↑
166.73 m
↓
N 56.915000°
W 13.309937°		 ← 166.73 m →
27 798 m²		 N 56.915000°
W 13.307190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463031768798828 y=0.306789398193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463031768798828 × 217)
    floor (0.463031768798828 × 131072)
    floor (60690.5)     		tx = 60690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306789398193359 × 217)
    floor (0.306789398193359 × 131072)
    floor (40211.5)     		ty = 40211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60690 / 40211 ti = "17/60690/40211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60690/40211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60690 ÷ 217
    60690 ÷ 131072     		x = 0.463027954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40211 ÷ 217
    40211 ÷ 131072     		y = 0.306785583496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463027954101562 × 2 - 1) × π
    -0.073944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23230222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306785583496094 × 2 - 1) × π
    0.386428833007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.21400198287792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23230222} λ = -0.23230222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21400198287792))-π/2
    2×atan(3.36693213105151)-π/2
    2×1.28208831892353-π/2
    2.56417663784705-1.57079632675     		φ = 0.99338031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23230222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.309937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99338031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.916499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60690 KachelY 40211 -0.23230222 0.99338031 -13.309937 56.916499
    Oben rechts KachelX + 1 60691 KachelY 40211 -0.23225428 0.99338031 -13.307190 56.916499
    Unten links KachelX 60690 KachelY + 1 40212 -0.23230222 0.99335414 -13.309937 56.915000
    Unten rechts KachelX + 1 60691 KachelY + 1 40212 -0.23225428 0.99335414 -13.307190 56.915000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99338031-0.99335414) × R
    2.61700000000475e-05 × 6371000     		dl = 166.729070000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99338031-0.99335414) × R
    2.61700000000475e-05 × 6371000     		dr = 166.729070000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23230222--0.23225428) × cos(0.99338031) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545860704189612 × 6371000     		do = 166.719909514021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23230222--0.23225428) × cos(0.99335414) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54588263121605 × 6371000     		du = 166.726606592296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99338031)-sin(0.99335414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545860704189612-0.54588263121605)×R²
    abs(-0.23225428--0.23230222)×2.19270264381066e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19270264381066e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19270264381066e-05×40589641000000     		ar = 27797.6137641298m²