Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60688 / 40210
↖ ↑ ↗
← N 56.917999°
W 13.315430°		 ← 166.71 m → N 56.917999°
W 13.312683°		 →
↑
166.73 m
↓
↑
166.73 m
↓
N 56.916499°
W 13.315430°		 ← 166.72 m →
27 796 m²		 N 56.916499°
W 13.312683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463016510009766 y=0.306781768798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463016510009766 × 217)
    floor (0.463016510009766 × 131072)
    floor (60688.5)     		tx = 60688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306781768798828 × 217)
    floor (0.306781768798828 × 131072)
    floor (40210.5)     		ty = 40210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60688 / 40210 ti = "17/60688/40210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60688/40210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60688 ÷ 217
    60688 ÷ 131072     		x = 0.4630126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40210 ÷ 217
    40210 ÷ 131072     		y = 0.306777954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.073974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23239809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306777954101562 × 2 - 1) × π
    0.386444091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21404991977754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23239809} λ = -0.23239809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21404991977754))-π/2
    2×atan(3.36709353520768)-π/2
    2×1.28210140209565-π/2
    2.5642028041913-1.57079632675     		φ = 0.99340648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23239809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.315430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99340648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.917999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60688 KachelY 40210 -0.23239809 0.99340648 -13.315430 56.917999
    Oben rechts KachelX + 1 60689 KachelY 40210 -0.23235015 0.99340648 -13.312683 56.917999
    Unten links KachelX 60688 KachelY + 1 40211 -0.23239809 0.99338031 -13.315430 56.916499
    Unten rechts KachelX + 1 60689 KachelY + 1 40211 -0.23235015 0.99338031 -13.312683 56.916499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99340648-0.99338031) × R
    2.61699999999365e-05 × 6371000     		dl = 166.729069999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99340648-0.99338031) × R
    2.61699999999365e-05 × 6371000     		dr = 166.729069999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23239809--0.23235015) × cos(0.99340648) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545838776789331 × 6371000     		do = 166.713212321563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23239809--0.23235015) × cos(0.99338031) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545860704189612 × 6371000     		du = 166.719909514021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99340648)-sin(0.99338031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545838776789331-0.545860704189612)×R²
    abs(-0.23235015--0.23239809)×2.19274002811742e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19274002811742e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19274002811742e-05×40589641000000     		ar = 27796.4971569241m²