Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60684 / 32514
↖ ↑ ↗
← N 66.789745°
W 13.326416°		 ← 120.37 m → N 66.789745°
W 13.323669°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
N 66.788662°
W 13.326416°		 ← 120.38 m →
14 487 m²		 N 66.788662°
W 13.323669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462985992431641 y=0.248065948486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462985992431641 × 217)
    floor (0.462985992431641 × 131072)
    floor (60684.5)     		tx = 60684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248065948486328 × 217)
    floor (0.248065948486328 × 131072)
    floor (32514.5)     		ty = 32514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60684 / 32514 ti = "17/60684/32514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60684/32514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60684 ÷ 217
    60684 ÷ 131072     		x = 0.462982177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32514 ÷ 217
    32514 ÷ 131072     		y = 0.248062133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462982177734375 × 2 - 1) × π
    -0.07403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23258984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248062133789062 × 2 - 1) × π
    0.503875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58297229925349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23258984} λ = -0.23258984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58297229925349))-π/2
    2×atan(4.86940765974053)-π/2
    2×1.36824863898359-π/2
    2.73649727796719-1.57079632675     		φ = 1.16570095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23258984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.326416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16570095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.789745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60684 KachelY 32514 -0.23258984 1.16570095 -13.326416 66.789745
    Oben rechts KachelX + 1 60685 KachelY 32514 -0.23254190 1.16570095 -13.323669 66.789745
    Unten links KachelX 60684 KachelY + 1 32515 -0.23258984 1.16568206 -13.326416 66.788662
    Unten rechts KachelX + 1 60685 KachelY + 1 32515 -0.23254190 1.16568206 -13.323669 66.788662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16570095-1.16568206) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16570095-1.16568206) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23258984--0.23254190) × cos(1.16570095) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394106419619329 × 6371000     		do = 120.370244850975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23258984--0.23254190) × cos(1.16568206) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394123780683326 × 6371000     		du = 120.375547366793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16570095)-sin(1.16568206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394106419619329-0.394123780683326)×R²
    abs(-0.23254190--0.23258984)×1.73610639966904e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73610639966904e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73610639966904e-05×40589641000000     		ar = 14486.6601722075m²