Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60682 / 14107
↖ ↑ ↗
← N 71.025892°
E153.336182°		 ← 198.61 m → N 71.025892°
E153.341675°		 →
↑
198.58 m
↓
↑
198.58 m
↓
N 71.024106°
E153.336182°		 ← 198.63 m →
39 443 m²		 N 71.024106°
E153.341675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925941467285156 y=0.215263366699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925941467285156 × 216)
    floor (0.925941467285156 × 65536)
    floor (60682.5)     		tx = 60682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215263366699219 × 216)
    floor (0.215263366699219 × 65536)
    floor (14107.5)     		ty = 14107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60682 / 14107 ti = "16/60682/14107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60682/14107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60682 ÷ 216
    60682 ÷ 65536     		x = 0.925933837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14107 ÷ 216
    14107 ÷ 65536     		y = 0.215255737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925933837890625 × 2 - 1) × π
    0.85186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.67622123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215255737304688 × 2 - 1) × π
    0.569488525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78910096761974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67622123} λ = 2.67622123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78910096761974))-π/2
    2×atan(5.98407017446566)-π/2
    2×1.40521599853484-π/2
    2.81043199706968-1.57079632675     		φ = 1.23963567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67622123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.336182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23963567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.025892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60682 KachelY 14107 2.67622123 1.23963567 153.336182 71.025892
    Oben rechts KachelX + 1 60683 KachelY 14107 2.67631711 1.23963567 153.341675 71.025892
    Unten links KachelX 60682 KachelY + 1 14108 2.67622123 1.23960450 153.336182 71.024106
    Unten rechts KachelX + 1 60683 KachelY + 1 14108 2.67631711 1.23960450 153.341675 71.024106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23963567-1.23960450) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dl = 198.584069999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23963567-1.23960450) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dr = 198.584069999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67622123-2.67631711) × cos(1.23963567) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.325140840359536 × 6371000     		do = 198.612763541936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67622123-2.67631711) × cos(1.23960450) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.325170316598449 × 6371000     		du = 198.630769146101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23963567)-sin(1.23960450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325140840359536-0.325170316598449)×R²
    abs(2.67631711-2.67622123)×2.94762389126402e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.94762389126402e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.94762389126402e-05×40589641000000     		ar = 39443.1187542164m²