Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60681 / 32513
↖ ↑ ↗
← N 66.790827°
W 13.334656°		 ← 120.36 m → N 66.790827°
W 13.331909°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
N 66.789745°
W 13.334656°		 ← 120.37 m →
14 486 m²		 N 66.789745°
W 13.331909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462963104248047 y=0.248058319091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462963104248047 × 217)
    floor (0.462963104248047 × 131072)
    floor (60681.5)     		tx = 60681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248058319091797 × 217)
    floor (0.248058319091797 × 131072)
    floor (32513.5)     		ty = 32513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60681 / 32513 ti = "17/60681/32513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60681/32513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60681 ÷ 217
    60681 ÷ 131072     		x = 0.462959289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32513 ÷ 217
    32513 ÷ 131072     		y = 0.248054504394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462959289550781 × 2 - 1) × π
    -0.0740814208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23273365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248054504394531 × 2 - 1) × π
    0.503890991210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.58302023615311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23273365} λ = -0.23273365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58302023615311))-π/2
    2×atan(4.86964108964164)-π/2
    2×1.36825808489542-π/2
    2.73651616979085-1.57079632675     		φ = 1.16571984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23273365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.334656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16571984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.790827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60681 KachelY 32513 -0.23273365 1.16571984 -13.334656 66.790827
    Oben rechts KachelX + 1 60682 KachelY 32513 -0.23268571 1.16571984 -13.331909 66.790827
    Unten links KachelX 60681 KachelY + 1 32514 -0.23273365 1.16570095 -13.334656 66.789745
    Unten rechts KachelX + 1 60682 KachelY + 1 32514 -0.23268571 1.16570095 -13.331909 66.789745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16571984-1.16570095) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16571984-1.16570095) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23273365--0.23268571) × cos(1.16571984) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394089058414703 × 6371000     		do = 120.364942292205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23273365--0.23268571) × cos(1.16570095) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394106419619329 × 6371000     		du = 120.370244850975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16571984)-sin(1.16570095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394089058414703-0.394106419619329)×R²
    abs(-0.23268571--0.23273365)×1.73612046264759e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73612046264759e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73612046264759e-05×40589641000000     		ar = 14486.0220215396m²