Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60680 / 84162
↖ ↑ ↗
← S 45.463983°
W 13.337402°		 ← 214.17 m → S 45.463983°
W 13.334656°		 →
↑
214.19 m
↓
↑
214.19 m
↓
S 45.465910°
W 13.337402°		 ← 214.16 m →
45 872 m²		 S 45.465910°
W 13.334656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462955474853516 y=0.642108917236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462955474853516 × 217)
    floor (0.462955474853516 × 131072)
    floor (60680.5)     		tx = 60680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642108917236328 × 217)
    floor (0.642108917236328 × 131072)
    floor (84162.5)     		ty = 84162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60680 / 84162 ti = "17/60680/84162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60680/84162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60680 ÷ 217
    60680 ÷ 131072     		x = 0.46295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84162 ÷ 217
    84162 ÷ 131072     		y = 0.642105102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23278158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642105102539062 × 2 - 1) × π
    -0.284210205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.892872692323166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23278158} λ = -0.23278158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892872692323166))-π/2
    2×atan(0.409477757942377)-π/2
    2×0.388650062345202-π/2
    0.777300124690404-1.57079632675     		φ = -0.79349620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23278158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.337402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79349620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.463983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60680 KachelY 84162 -0.23278158 -0.79349620 -13.337402 -45.463983
    Oben rechts KachelX + 1 60681 KachelY 84162 -0.23273365 -0.79349620 -13.334656 -45.463983
    Unten links KachelX 60680 KachelY + 1 84163 -0.23278158 -0.79352982 -13.337402 -45.465910
    Unten rechts KachelX + 1 60681 KachelY + 1 84163 -0.23273365 -0.79352982 -13.334656 -45.465910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79349620--0.79352982) × R
    3.36200000000675e-05 × 6371000     		dl = 214.19302000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79349620--0.79352982) × R
    3.36200000000675e-05 × 6371000     		dr = 214.19302000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23278158--0.23273365) × cos(-0.79349620) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.701357481908641 × 6371000     		do = 214.167944431318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23278158--0.23273365) × cos(-0.79352982) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.701333516849824 × 6371000     		du = 214.160626412309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79349620)-sin(-0.79352982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701357481908641-0.701333516849824)×R²
    abs(-0.23273365--0.23278158)×2.3965058817077e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3965058817077e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3965058817077e-05×40589641000000     		ar = 45872.4950750696m²