Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60680 / 56104
↖ ↑ ↗
← N 25.065697°
W 13.337402°		 ← 276.60 m → N 25.065697°
W 13.334656°		 →
↑
276.69 m
↓
↑
276.69 m
↓
N 25.063209°
W 13.337402°		 ← 276.61 m →
76 535 m²		 N 25.063209°
W 13.334656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462955474853516 y=0.428043365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462955474853516 × 217)
    floor (0.462955474853516 × 131072)
    floor (60680.5)     		tx = 60680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428043365478516 × 217)
    floor (0.428043365478516 × 131072)
    floor (56104.5)     		ty = 56104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60680 / 56104 ti = "17/60680/56104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60680/56104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60680 ÷ 217
    60680 ÷ 131072     		x = 0.46295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56104 ÷ 217
    56104 ÷ 131072     		y = 0.42803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23278158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42803955078125 × 2 - 1) × π
    0.1439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.45214083721637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23278158} λ = -0.23278158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45214083721637))-π/2
    2×atan(1.57167328308145)-π/2
    2×1.00413763598933-π/2
    2.00827527197867-1.57079632675     		φ = 0.43747895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23278158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.337402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43747895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.065697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60680 KachelY 56104 -0.23278158 0.43747895 -13.337402 25.065697
    Oben rechts KachelX + 1 60681 KachelY 56104 -0.23273365 0.43747895 -13.334656 25.065697
    Unten links KachelX 60680 KachelY + 1 56105 -0.23278158 0.43743552 -13.337402 25.063209
    Unten rechts KachelX + 1 60681 KachelY + 1 56105 -0.23273365 0.43743552 -13.334656 25.063209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43747895-0.43743552) × R
    4.34299999999554e-05 × 6371000     		dl = 276.692529999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43747895-0.43743552) × R
    4.34299999999554e-05 × 6371000     		dr = 276.692529999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23278158--0.23273365) × cos(0.43747895) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.905822601610466 × 6371000     		do = 276.603828447662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23278158--0.23273365) × cos(0.43743552) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.905841000187945 × 6371000     		du = 276.60944667463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43747895)-sin(0.43743552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905822601610466-0.905841000187945)×R²
    abs(-0.23273365--0.23278158)×1.83985774788731e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.83985774788731e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.83985774788731e-05×40589641000000     		ar = 76534.9903734462m²