Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60678 / 84161
↖ ↑ ↗
← S 45.462057°
W 13.342896°		 ← 214.22 m → S 45.462057°
W 13.340149°		 →
↑
214.19 m
↓
↑
214.19 m
↓
S 45.463983°
W 13.342896°		 ← 214.21 m →
45 884 m²		 S 45.463983°
W 13.340149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462940216064453 y=0.642101287841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462940216064453 × 217)
    floor (0.462940216064453 × 131072)
    floor (60678.5)     		tx = 60678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642101287841797 × 217)
    floor (0.642101287841797 × 131072)
    floor (84161.5)     		ty = 84161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60678 / 84161 ti = "17/60678/84161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60678/84161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60678 ÷ 217
    60678 ÷ 131072     		x = 0.462936401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84161 ÷ 217
    84161 ÷ 131072     		y = 0.642097473144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462936401367188 × 2 - 1) × π
    -0.074127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23287746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642097473144531 × 2 - 1) × π
    -0.284194946289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.892824755423546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23287746} λ = -0.23287746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892824755423546))-π/2
    2×atan(0.409497387507042)-π/2
    2×0.388666873083976-π/2
    0.777333746167952-1.57079632675     		φ = -0.79346258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23287746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.342896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79346258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.462057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60678 KachelY 84161 -0.23287746 -0.79346258 -13.342896 -45.462057
    Oben rechts KachelX + 1 60679 KachelY 84161 -0.23282952 -0.79346258 -13.340149 -45.462057
    Unten links KachelX 60678 KachelY + 1 84162 -0.23287746 -0.79349620 -13.342896 -45.463983
    Unten rechts KachelX + 1 60679 KachelY + 1 84162 -0.23282952 -0.79349620 -13.340149 -45.463983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79346258--0.79349620) × R
    3.36199999999565e-05 × 6371000     		dl = 214.193019999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79346258--0.79349620) × R
    3.36199999999565e-05 × 6371000     		dr = 214.193019999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23287746--0.23282952) × cos(-0.79346258) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701381446174711 × 6371000     		do = 214.219947220165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23287746--0.23282952) × cos(-0.79349620) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701357481908641 × 6371000     		du = 214.212627916467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79346258)-sin(-0.79349620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701381446174711-0.701357481908641)×R²
    abs(-0.23282952--0.23287746)×2.39642660696537e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39642660696537e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39642660696537e-05×40589641000000     		ar = 45883.6335716726m²