Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60676 / 33031
↖ ↑ ↗
← N 66.223708°
W 13.348389°		 ← 123.11 m → N 66.223708°
W 13.345642°		 →
↑
123.15 m
↓
↑
123.15 m
↓
N 66.222600°
W 13.348389°		 ← 123.12 m →
15 162 m²		 N 66.222600°
W 13.345642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462924957275391 y=0.252010345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462924957275391 × 217)
    floor (0.462924957275391 × 131072)
    floor (60676.5)     		tx = 60676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.252010345458984 × 217)
    floor (0.252010345458984 × 131072)
    floor (33031.5)     		ty = 33031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60676 / 33031 ti = "17/60676/33031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60676/33031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60676 ÷ 217
    60676 ÷ 131072     		x = 0.462921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33031 ÷ 217
    33031 ÷ 131072     		y = 0.252006530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.07415771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23297333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.252006530761719 × 2 - 1) × π
    0.495986938476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.55818892214993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23297333} λ = -0.23297333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55818892214993))-π/2
    2×atan(4.75021044915288)-π/2
    2×1.36330903150983-π/2
    2.72661806301965-1.57079632675     		φ = 1.15582174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23297333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.348389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15582174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.223708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60676 KachelY 33031 -0.23297333 1.15582174 -13.348389 66.223708
    Oben rechts KachelX + 1 60677 KachelY 33031 -0.23292540 1.15582174 -13.345642 66.223708
    Unten links KachelX 60676 KachelY + 1 33032 -0.23297333 1.15580241 -13.348389 66.222600
    Unten rechts KachelX + 1 60677 KachelY + 1 33032 -0.23292540 1.15580241 -13.345642 66.222600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15582174-1.15580241) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dl = 123.151429999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15582174-1.15580241) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dr = 123.151429999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23297333--0.23292540) × cos(1.15582174) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.403166674216687 × 6371000     		do = 123.11179406716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23297333--0.23292540) × cos(1.15580241) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.403184363537896 × 6371000     		du = 123.117195714194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15582174)-sin(1.15580241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403166674216687-0.403184363537896)×R²
    abs(-0.23292540--0.23297333)×1.76893212088802e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.76893212088802e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.76893212088802e-05×40589641000000     		ar = 15161.7260999446m²