Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60676 / 26972
↖ ↑ ↗
← N 72.104320°
W 13.348389°		 ← 93.83 m → N 72.104320°
W 13.345642°		 →
↑
93.84 m
↓
↑
93.84 m
↓
N 72.103476°
W 13.348389°		 ← 93.84 m →
8 806 m²		 N 72.103476°
W 13.345642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462924957275391 y=0.205783843994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462924957275391 × 217)
    floor (0.462924957275391 × 131072)
    floor (60676.5)     		tx = 60676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205783843994141 × 217)
    floor (0.205783843994141 × 131072)
    floor (26972.5)     		ty = 26972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60676 / 26972 ti = "17/60676/26972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60676/26972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60676 ÷ 217
    60676 ÷ 131072     		x = 0.462921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26972 ÷ 217
    26972 ÷ 131072     		y = 0.205780029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.07415771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23297333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205780029296875 × 2 - 1) × π
    0.58843994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84863859694785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23297333} λ = -0.23297333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84863859694785))-π/2
    2×atan(6.3511671359218)-π/2
    2×1.41462705645359-π/2
    2.82925411290718-1.57079632675     		φ = 1.25845779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23297333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.348389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25845779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.104320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60676 KachelY 26972 -0.23297333 1.25845779 -13.348389 72.104320
    Oben rechts KachelX + 1 60677 KachelY 26972 -0.23292540 1.25845779 -13.345642 72.104320
    Unten links KachelX 60676 KachelY + 1 26973 -0.23297333 1.25844306 -13.348389 72.103476
    Unten rechts KachelX + 1 60677 KachelY + 1 26973 -0.23292540 1.25844306 -13.345642 72.103476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25845779-1.25844306) × R
    1.47299999999628e-05 × 6371000     		dl = 93.8448299997632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25845779-1.25844306) × R
    1.47299999999628e-05 × 6371000     		dr = 93.8448299997632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23297333--0.23292540) × cos(1.25845779) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.307284867362766 × 6371000     		do = 93.8331308861779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23297333--0.23292540) × cos(1.25844306) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.307298884656318 × 6371000     		du = 93.8374112353922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25845779)-sin(1.25844306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307284867362766-0.307298884656318)×R²
    abs(-0.23292540--0.23297333)×1.40172935525484e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.40172935525484e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.40172935525484e-05×40589641000000     		ar = 8805.95506082432m²