Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60675 / 40193
↖ ↑ ↗
← N 56.943476°
W 13.351135°		 ← 166.60 m → N 56.943476°
W 13.348389°		 →
↑
166.54 m
↓
↑
166.54 m
↓
N 56.941978°
W 13.351135°		 ← 166.61 m →
27 746 m²		 N 56.941978°
W 13.348389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462917327880859 y=0.306652069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462917327880859 × 217)
    floor (0.462917327880859 × 131072)
    floor (60675.5)     		tx = 60675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306652069091797 × 217)
    floor (0.306652069091797 × 131072)
    floor (40193.5)     		ty = 40193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60675 / 40193 ti = "17/60675/40193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60675/40193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60675 ÷ 217
    60675 ÷ 131072     		x = 0.462913513183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40193 ÷ 217
    40193 ÷ 131072     		y = 0.306648254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462913513183594 × 2 - 1) × π
    -0.0741729736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23302127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306648254394531 × 2 - 1) × π
    0.386703491210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.21486484707108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23302127} λ = -0.23302127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21486484707108))-π/2
    2×atan(3.36983858998754)-π/2
    2×1.28232373563226-π/2
    2.56464747126452-1.57079632675     		φ = 0.99385114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23302127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.351135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99385114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.943476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60675 KachelY 40193 -0.23302127 0.99385114 -13.351135 56.943476
    Oben rechts KachelX + 1 60676 KachelY 40193 -0.23297333 0.99385114 -13.348389 56.943476
    Unten links KachelX 60675 KachelY + 1 40194 -0.23302127 0.99382500 -13.351135 56.941978
    Unten rechts KachelX + 1 60676 KachelY + 1 40194 -0.23297333 0.99382500 -13.348389 56.941978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99385114-0.99382500) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dl = 166.53794000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99385114-0.99382500) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dr = 166.53794000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23302127--0.23297333) × cos(0.99385114) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545466146571693 × 6371000     		do = 166.599401461595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23302127--0.23297333) × cos(0.99382500) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545488055178167 × 6371000     		du = 166.60609291394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99385114)-sin(0.99382500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545466146571693-0.545488055178167)×R²
    abs(-0.23297333--0.23302127)×2.1908606473664e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1908606473664e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1908606473664e-05×40589641000000     		ar = 27745.6783163829m²