Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60674 / 40194
↖ ↑ ↗
← N 56.941978°
W 13.353882°		 ← 166.61 m → N 56.941978°
W 13.351135°		 →
↑
166.60 m
↓
↑
166.60 m
↓
N 56.940480°
W 13.353882°		 ← 166.61 m →
27 757 m²		 N 56.940480°
W 13.351135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462909698486328 y=0.306659698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462909698486328 × 217)
    floor (0.462909698486328 × 131072)
    floor (60674.5)     		tx = 60674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306659698486328 × 217)
    floor (0.306659698486328 × 131072)
    floor (40194.5)     		ty = 40194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60674 / 40194 ti = "17/60674/40194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60674/40194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60674 ÷ 217
    60674 ÷ 131072     		x = 0.462905883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40194 ÷ 217
    40194 ÷ 131072     		y = 0.306655883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462905883789062 × 2 - 1) × π
    -0.074188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23306921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306655883789062 × 2 - 1) × π
    0.386688232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21481691017146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23306921} λ = -0.23306921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21481691017146))-π/2
    2×atan(3.36967705424511)-π/2
    2×1.28231066139175-π/2
    2.5646213227835-1.57079632675     		φ = 0.99382500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23306921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.353882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99382500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.941978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60674 KachelY 40194 -0.23306921 0.99382500 -13.353882 56.941978
    Oben rechts KachelX + 1 60675 KachelY 40194 -0.23302127 0.99382500 -13.351135 56.941978
    Unten links KachelX 60674 KachelY + 1 40195 -0.23306921 0.99379885 -13.353882 56.940480
    Unten rechts KachelX + 1 60675 KachelY + 1 40195 -0.23302127 0.99379885 -13.351135 56.940480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99382500-0.99379885) × R
    2.6149999999947e-05 × 6371000     		dl = 166.601649999663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99382500-0.99379885) × R
    2.6149999999947e-05 × 6371000     		dr = 166.601649999663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23306921--0.23302127) × cos(0.99382500) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545488055178167 × 6371000     		do = 166.60609291394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23306921--0.23302127) × cos(0.99379885) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545509971792952 × 6371000     		du = 166.612786812229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99382500)-sin(0.99379885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545488055178167-0.545509971792952)×R²
    abs(-0.23302127--0.23306921)×2.19166147852334e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19166147852334e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19166147852334e-05×40589641000000     		ar = 27757.4075884689m²