Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60673 / 14082
↖ ↑ ↗
← N 71.070493°
E153.286743°		 ← 198.14 m → N 71.070493°
E153.292236°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
N 71.068711°
E153.286743°		 ← 198.16 m →
39 261 m²		 N 71.068711°
E153.292236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925804138183594 y=0.214881896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925804138183594 × 216)
    floor (0.925804138183594 × 65536)
    floor (60673.5)     		tx = 60673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214881896972656 × 216)
    floor (0.214881896972656 × 65536)
    floor (14082.5)     		ty = 14082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60673 / 14082 ti = "16/60673/14082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60673/14082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60673 ÷ 216
    60673 ÷ 65536     		x = 0.925796508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14082 ÷ 216
    14082 ÷ 65536     		y = 0.214874267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925796508789062 × 2 - 1) × π
    0.851593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.67535837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214874267578125 × 2 - 1) × π
    0.57025146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79149781260074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67535837} λ = 2.67535837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79149781260074))-π/2
    2×atan(5.99843026561076)-π/2
    2×1.40560521332437-π/2
    2.81121042664874-1.57079632675     		φ = 1.24041410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67535837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.286743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24041410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.070493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60673 KachelY 14082 2.67535837 1.24041410 153.286743 71.070493
    Oben rechts KachelX + 1 60674 KachelY 14082 2.67545424 1.24041410 153.292236 71.070493
    Unten links KachelX 60673 KachelY + 1 14083 2.67535837 1.24038300 153.286743 71.068711
    Unten rechts KachelX + 1 60674 KachelY + 1 14083 2.67545424 1.24038300 153.292236 71.068711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24041410-1.24038300) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24041410-1.24038300) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67535837-2.67545424) × cos(1.24041410) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324404607447958 × 6371000     		do = 198.142366760859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67535837-2.67545424) × cos(1.24038300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324434025353822 × 6371000     		du = 198.16033485798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24041410)-sin(1.24038300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324404607447958-0.324434025353822)×R²
    abs(2.67545424-2.67535837)×2.94179058645816e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94179058645816e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94179058645816e-05×40589641000000     		ar = 39261.3321649695m²