Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60672 / 26876
↖ ↑ ↗
← N 72.185165°
W 13.359375°		 ← 93.44 m → N 72.185165°
W 13.356628°		 →
↑
93.46 m
↓
↑
93.46 m
↓
N 72.184324°
W 13.359375°		 ← 93.45 m →
8 734 m²		 N 72.184324°
W 13.356628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462894439697266 y=0.205051422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462894439697266 × 217)
    floor (0.462894439697266 × 131072)
    floor (60672.5)     		tx = 60672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205051422119141 × 217)
    floor (0.205051422119141 × 131072)
    floor (26876.5)     		ty = 26876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60672 / 26876 ti = "17/60672/26876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60672/26876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60672 ÷ 217
    60672 ÷ 131072     		x = 0.462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26876 ÷ 217
    26876 ÷ 131072     		y = 0.205047607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462890625 × 2 - 1) × π
    -0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205047607421875 × 2 - 1) × π
    0.58990478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.85324053931137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23316508} λ = -0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85324053931137))-π/2
    2×atan(6.38046219641181)-π/2
    2×1.41533256391348-π/2
    2.83066512782696-1.57079632675     		φ = 1.25986880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25986880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.185165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60672 KachelY 26876 -0.23316508 1.25986880 -13.359375 72.185165
    Oben rechts KachelX + 1 60673 KachelY 26876 -0.23311714 1.25986880 -13.356628 72.185165
    Unten links KachelX 60672 KachelY + 1 26877 -0.23316508 1.25985413 -13.359375 72.184324
    Unten rechts KachelX + 1 60673 KachelY + 1 26877 -0.23311714 1.25985413 -13.356628 72.184324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25986880-1.25985413) × R
    1.46700000001054e-05 × 6371000     		dl = 93.4625700006717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25986880-1.25985413) × R
    1.46700000001054e-05 × 6371000     		dr = 93.4625700006717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23316508--0.23311714) × cos(1.25986880) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.305941819998667 × 6371000     		do = 93.4425067700325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23316508--0.23311714) × cos(1.25985413) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.30595578654233 × 6371000     		du = 93.446772511966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25986880)-sin(1.25985413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305941819998667-0.30595578654233)×R²
    abs(-0.23311714--0.23316508)×1.39665436627578e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.39665436627578e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.39665436627578e-05×40589641000000     		ar = 8733.57617394374m²