Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60671 / 41294
↖ ↑ ↗
← N 55.257208°
W 13.362122°		 ← 174.06 m → N 55.257208°
W 13.359375°		 →
↑
174.06 m
↓
↑
174.06 m
↓
N 55.255642°
W 13.362122°		 ← 174.07 m →
30 297 m²		 N 55.255642°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462886810302734 y=0.315052032470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462886810302734 × 217)
    floor (0.462886810302734 × 131072)
    floor (60671.5)     		tx = 60671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315052032470703 × 217)
    floor (0.315052032470703 × 131072)
    floor (41294.5)     		ty = 41294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60671 / 41294 ti = "17/60671/41294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60671/41294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60671 ÷ 217
    60671 ÷ 131072     		x = 0.462882995605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41294 ÷ 217
    41294 ÷ 131072     		y = 0.315048217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462882995605469 × 2 - 1) × π
    -0.0742340087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23321302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315048217773438 × 2 - 1) × π
    0.369903564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1620863205894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23321302} λ = -0.23321302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1620863205894))-π/2
    2×atan(3.19659544688443)-π/2
    2×1.2676082683722-π/2
    2.5352165367444-1.57079632675     		φ = 0.96442021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23321302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.362122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96442021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.257208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60671 KachelY 41294 -0.23321302 0.96442021 -13.362122 55.257208
    Oben rechts KachelX + 1 60672 KachelY 41294 -0.23316508 0.96442021 -13.359375 55.257208
    Unten links KachelX 60671 KachelY + 1 41295 -0.23321302 0.96439289 -13.362122 55.255642
    Unten rechts KachelX + 1 60672 KachelY + 1 41295 -0.23316508 0.96439289 -13.359375 55.255642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96442021-0.96439289) × R
    2.73200000000529e-05 × 6371000     		dl = 174.055720000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96442021-0.96439289) × R
    2.73200000000529e-05 × 6371000     		dr = 174.055720000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23321302--0.23316508) × cos(0.96442021) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.5698933963205 × 6371000     		do = 174.060112292288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23321302--0.23316508) × cos(0.96439289) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.569915845460955 × 6371000     		du = 174.066968837624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96442021)-sin(0.96439289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5698933963205-0.569915845460955)×R²
    abs(-0.23316508--0.23321302)×2.24491404549054e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24491404549054e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24491404549054e-05×40589641000000     		ar = 30296.7548808069m²