Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60671 / 40705
↖ ↑ ↗
← N 56.168494°
W 13.362122°		 ← 170.05 m → N 56.168494°
W 13.359375°		 →
↑
170.04 m
↓
↑
170.04 m
↓
N 56.166964°
W 13.362122°		 ← 170.05 m →
28 916 m²		 N 56.166964°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462886810302734 y=0.310558319091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462886810302734 × 217)
    floor (0.462886810302734 × 131072)
    floor (60671.5)     		tx = 60671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310558319091797 × 217)
    floor (0.310558319091797 × 131072)
    floor (40705.5)     		ty = 40705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60671 / 40705 ti = "17/60671/40705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60671/40705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60671 ÷ 217
    60671 ÷ 131072     		x = 0.462882995605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40705 ÷ 217
    40705 ÷ 131072     		y = 0.310554504394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462882995605469 × 2 - 1) × π
    -0.0742340087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23321302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310554504394531 × 2 - 1) × π
    0.378890991210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.19032115446561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23321302} λ = -0.23321302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19032115446561))-π/2
    2×atan(3.28813703772495)-π/2
    2×1.27556074014636-π/2
    2.55112148029272-1.57079632675     		φ = 0.98032515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23321302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.362122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98032515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.168494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60671 KachelY 40705 -0.23321302 0.98032515 -13.362122 56.168494
    Oben rechts KachelX + 1 60672 KachelY 40705 -0.23316508 0.98032515 -13.359375 56.168494
    Unten links KachelX 60671 KachelY + 1 40706 -0.23321302 0.98029846 -13.362122 56.166964
    Unten rechts KachelX + 1 60672 KachelY + 1 40706 -0.23316508 0.98029846 -13.359375 56.166964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98032515-0.98029846) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dl = 170.041989999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98032515-0.98029846) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dr = 170.041989999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23321302--0.23316508) × cos(0.98032515) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556752481106046 × 6371000     		do = 170.046538538637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23321302--0.23316508) × cos(0.98029846) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55677465171537 × 6371000     		du = 170.053310013396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98032515)-sin(0.98029846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556752481106046-0.55677465171537)×R²
    abs(-0.23316508--0.23321302)×2.21706093238572e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21706093238572e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21706093238572e-05×40589641000000     		ar = 28915.6275247591m²