Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60669 / 56067
↖ ↑ ↗
← N 25.157716°
W 13.367615°		 ← 276.45 m → N 25.157716°
W 13.364868°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
N 25.155230°
W 13.367615°		 ← 276.46 m →
76 423 m²		 N 25.155230°
W 13.364868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462871551513672 y=0.427761077880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462871551513672 × 217)
    floor (0.462871551513672 × 131072)
    floor (60669.5)     		tx = 60669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427761077880859 × 217)
    floor (0.427761077880859 × 131072)
    floor (56067.5)     		ty = 56067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60669 / 56067 ti = "17/60669/56067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60669/56067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60669 ÷ 217
    60669 ÷ 131072     		x = 0.462867736816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56067 ÷ 217
    56067 ÷ 131072     		y = 0.427757263183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462867736816406 × 2 - 1) × π
    -0.0742645263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23330889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427757263183594 × 2 - 1) × π
    0.144485473632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.453914502502312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23330889} λ = -0.23330889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453914502502312))-π/2
    2×atan(1.57446337904122)-π/2
    2×1.00494064695813-π/2
    2.00988129391627-1.57079632675     		φ = 0.43908497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23330889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.367615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43908497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.157716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60669 KachelY 56067 -0.23330889 0.43908497 -13.367615 25.157716
    Oben rechts KachelX + 1 60670 KachelY 56067 -0.23326095 0.43908497 -13.364868 25.157716
    Unten links KachelX 60669 KachelY + 1 56068 -0.23330889 0.43904158 -13.367615 25.155230
    Unten rechts KachelX + 1 60670 KachelY + 1 56068 -0.23326095 0.43904158 -13.364868 25.155230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43908497-0.43904158) × R
    4.3390000000032e-05 × 6371000     		dl = 276.437690000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43908497-0.43904158) × R
    4.3390000000032e-05 × 6371000     		dr = 276.437690000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23330889--0.23326095) × cos(0.43908497) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.90514103178913 × 6371000     		do = 276.453369438537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23330889--0.23326095) × cos(0.43904158) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.905159476521238 × 6371000     		du = 276.45900293449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43908497)-sin(0.43904158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90514103178913-0.905159476521238)×R²
    abs(-0.23326095--0.23330889)×1.84447321078807e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84447321078807e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84447321078807e-05×40589641000000     		ar = 76422.9095076886m²