Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60669 / 40725
↖ ↑ ↗
← N 56.137898°
W 13.367615°		 ← 170.18 m → N 56.137898°
W 13.364868°		 →
↑
170.17 m
↓
↑
170.17 m
↓
N 56.136368°
W 13.367615°		 ← 170.19 m →
28 960 m²		 N 56.136368°
W 13.364868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462871551513672 y=0.310710906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462871551513672 × 217)
    floor (0.462871551513672 × 131072)
    floor (60669.5)     		tx = 60669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310710906982422 × 217)
    floor (0.310710906982422 × 131072)
    floor (40725.5)     		ty = 40725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60669 / 40725 ti = "17/60669/40725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60669/40725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60669 ÷ 217
    60669 ÷ 131072     		x = 0.462867736816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40725 ÷ 217
    40725 ÷ 131072     		y = 0.310707092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462867736816406 × 2 - 1) × π
    -0.0742645263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23330889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310707092285156 × 2 - 1) × π
    0.378585815429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.18936241647321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23330889} λ = -0.23330889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18936241647321))-π/2
    2×atan(3.28498608653233)-π/2
    2×1.27529374397827-π/2
    2.55058748795655-1.57079632675     		φ = 0.97979116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23330889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.367615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97979116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.137898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60669 KachelY 40725 -0.23330889 0.97979116 -13.367615 56.137898
    Oben rechts KachelX + 1 60670 KachelY 40725 -0.23326095 0.97979116 -13.364868 56.137898
    Unten links KachelX 60669 KachelY + 1 40726 -0.23330889 0.97976445 -13.367615 56.136368
    Unten rechts KachelX + 1 60670 KachelY + 1 40726 -0.23326095 0.97976445 -13.364868 56.136368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97979116-0.97976445) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dl = 170.169409999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97979116-0.97976445) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dr = 170.169409999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23330889--0.23326095) × cos(0.97979116) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557195975688779 × 6371000     		do = 170.181993199754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23330889--0.23326095) × cos(0.97976445) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557218154967163 × 6371000     		du = 170.188767322267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97979116)-sin(0.97976445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557195975688779-0.557218154967163)×R²
    abs(-0.23326095--0.23330889)×2.21792783844377e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21792783844377e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21792783844377e-05×40589641000000     		ar = 28960.3457512302m²