Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60668 / 34052
↖ ↑ ↗
← N 65.067499°
W 13.370361°		 ← 128.75 m → N 65.067499°
W 13.367615°		 →
↑
128.76 m
↓
↑
128.76 m
↓
N 65.066341°
W 13.370361°		 ← 128.76 m →
16 578 m²		 N 65.066341°
W 13.367615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462863922119141 y=0.259799957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462863922119141 × 217)
    floor (0.462863922119141 × 131072)
    floor (60668.5)     		tx = 60668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259799957275391 × 217)
    floor (0.259799957275391 × 131072)
    floor (34052.5)     		ty = 34052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60668 / 34052 ti = "17/60668/34052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60668/34052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60668 ÷ 217
    60668 ÷ 131072     		x = 0.462860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34052 ÷ 217
    34052 ÷ 131072     		y = 0.259796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.07427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23335683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259796142578125 × 2 - 1) × π
    0.48040771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50924534763785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23335683} λ = -0.23335683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50924534763785))-π/2
    2×atan(4.52331597489033)-π/2
    2×1.35321921191658-π/2
    2.70643842383316-1.57079632675     		φ = 1.13564210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23335683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.370361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13564210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.067499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60668 KachelY 34052 -0.23335683 1.13564210 -13.370361 65.067499
    Oben rechts KachelX + 1 60669 KachelY 34052 -0.23330889 1.13564210 -13.367615 65.067499
    Unten links KachelX 60668 KachelY + 1 34053 -0.23335683 1.13562189 -13.370361 65.066341
    Unten rechts KachelX + 1 60669 KachelY + 1 34053 -0.23330889 1.13562189 -13.367615 65.066341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13564210-1.13562189) × R
    2.0210000000187e-05 × 6371000     		dl = 128.757910001192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13564210-1.13562189) × R
    2.0210000000187e-05 × 6371000     		dr = 128.757910001192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23335683--0.23330889) × cos(1.13564210) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421550260014291 × 6371000     		do = 128.752300112047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23335683--0.23330889) × cos(1.13562189) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421568586458033 × 6371000     		du = 128.757897479689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13564210)-sin(1.13562189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421550260014291-0.421568586458033)×R²
    abs(-0.23330889--0.23335683)×1.83264437420005e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83264437420005e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83264437420005e-05×40589641000000     		ar = 16578.2374234855m²