Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60668 / 33017
↖ ↑ ↗
← N 66.239206°
W 13.370361°		 ← 123.06 m → N 66.239206°
W 13.367615°		 →
↑
123.09 m
↓
↑
123.09 m
↓
N 66.238099°
W 13.370361°		 ← 123.07 m →
15 148 m²		 N 66.238099°
W 13.367615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462863922119141 y=0.251903533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462863922119141 × 217)
    floor (0.462863922119141 × 131072)
    floor (60668.5)     		tx = 60668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251903533935547 × 217)
    floor (0.251903533935547 × 131072)
    floor (33017.5)     		ty = 33017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60668 / 33017 ti = "17/60668/33017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60668/33017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60668 ÷ 217
    60668 ÷ 131072     		x = 0.462860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33017 ÷ 217
    33017 ÷ 131072     		y = 0.251899719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.07427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23335683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251899719238281 × 2 - 1) × π
    0.496200561523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.55886003874461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23335683} λ = -0.23335683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55886003874461))-π/2
    2×atan(4.7533994641943)-π/2
    2×1.36344427589721-π/2
    2.72688855179442-1.57079632675     		φ = 1.15609223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23335683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.370361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15609223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.239206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60668 KachelY 33017 -0.23335683 1.15609223 -13.370361 66.239206
    Oben rechts KachelX + 1 60669 KachelY 33017 -0.23330889 1.15609223 -13.367615 66.239206
    Unten links KachelX 60668 KachelY + 1 33018 -0.23335683 1.15607291 -13.370361 66.238099
    Unten rechts KachelX + 1 60669 KachelY + 1 33018 -0.23330889 1.15607291 -13.367615 66.238099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15609223-1.15607291) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dl = 123.087720000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15609223-1.15607291) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dr = 123.087720000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23335683--0.23330889) × cos(1.15609223) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.402919126885907 × 6371000     		do = 123.061872489273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23335683--0.23330889) × cos(1.15607291) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.402936809162223 × 6371000     		du = 123.067273111601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15609223)-sin(1.15607291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402919126885907-0.402936809162223)×R²
    abs(-0.23330889--0.23335683)×1.76822763158779e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76822763158779e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76822763158779e-05×40589641000000     		ar = 15147.737679305m²