Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60667 / 56065
↖ ↑ ↗
← N 25.162687°
W 13.373108°		 ← 276.38 m → N 25.162687°
W 13.370361°		 →
↑
276.37 m
↓
↑
276.37 m
↓
N 25.160202°
W 13.373108°		 ← 276.39 m →
76 386 m²		 N 25.160202°
W 13.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462856292724609 y=0.427745819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462856292724609 × 217)
    floor (0.462856292724609 × 131072)
    floor (60667.5)     		tx = 60667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427745819091797 × 217)
    floor (0.427745819091797 × 131072)
    floor (56065.5)     		ty = 56065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60667 / 56065 ti = "17/60667/56065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60667/56065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60667 ÷ 217
    60667 ÷ 131072     		x = 0.462852478027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56065 ÷ 217
    56065 ÷ 131072     		y = 0.427742004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462852478027344 × 2 - 1) × π
    -0.0742950439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23340476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427742004394531 × 2 - 1) × π
    0.144515991210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.454010376301552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23340476} λ = -0.23340476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454010376301552))-π/2
    2×atan(1.57461433606343)-π/2
    2×1.00498403572872-π/2
    2.00996807145743-1.57079632675     		φ = 0.43917174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23340476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.373108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43917174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.162687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60667 KachelY 56065 -0.23340476 0.43917174 -13.373108 25.162687
    Oben rechts KachelX + 1 60668 KachelY 56065 -0.23335683 0.43917174 -13.370361 25.162687
    Unten links KachelX 60667 KachelY + 1 56066 -0.23340476 0.43912836 -13.373108 25.160202
    Unten rechts KachelX + 1 60668 KachelY + 1 56066 -0.23335683 0.43912836 -13.370361 25.160202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43917174-0.43912836) × R
    4.33799999999818e-05 × 6371000     		dl = 276.373979999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43917174-0.43912836) × R
    4.33799999999818e-05 × 6371000     		dr = 276.373979999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23340476--0.23335683) × cos(0.43917174) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.905104141464543 × 6371000     		do = 276.384437999029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23340476--0.23335683) × cos(0.43912836) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.90512258535292 × 6371000     		du = 276.390070062225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43917174)-sin(0.43912836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905104141464543-0.90512258535292)×R²
    abs(-0.23335683--0.23340476)×1.84438883772398e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84438883772398e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84438883772398e-05×40589641000000     		ar = 76386.2454296388m²