Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60667 / 41289
↖ ↑ ↗
← N 55.265033°
W 13.373108°		 ← 173.99 m → N 55.265033°
W 13.370361°		 →
↑
173.99 m
↓
↑
173.99 m
↓
N 55.263468°
W 13.373108°		 ← 174 m →
30 273 m²		 N 55.263468°
W 13.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462856292724609 y=0.315013885498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462856292724609 × 217)
    floor (0.462856292724609 × 131072)
    floor (60667.5)     		tx = 60667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315013885498047 × 217)
    floor (0.315013885498047 × 131072)
    floor (41289.5)     		ty = 41289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60667 / 41289 ti = "17/60667/41289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60667/41289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60667 ÷ 217
    60667 ÷ 131072     		x = 0.462852478027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41289 ÷ 217
    41289 ÷ 131072     		y = 0.315010070800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462852478027344 × 2 - 1) × π
    -0.0742950439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23340476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315010070800781 × 2 - 1) × π
    0.369979858398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.1623260050875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23340476} λ = -0.23340476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1623260050875))-π/2
    2×atan(3.19736171308714)-π/2
    2×1.26767655895308-π/2
    2.53535311790616-1.57079632675     		φ = 0.96455679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23340476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.373108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96455679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.265033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60667 KachelY 41289 -0.23340476 0.96455679 -13.373108 55.265033
    Oben rechts KachelX + 1 60668 KachelY 41289 -0.23335683 0.96455679 -13.370361 55.265033
    Unten links KachelX 60667 KachelY + 1 41290 -0.23340476 0.96452948 -13.373108 55.263468
    Unten rechts KachelX + 1 60668 KachelY + 1 41290 -0.23335683 0.96452948 -13.370361 55.263468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96455679-0.96452948) × R
    2.73100000000026e-05 × 6371000     		dl = 173.992010000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96455679-0.96452948) × R
    2.73100000000026e-05 × 6371000     		dr = 173.992010000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23340476--0.23335683) × cos(0.96455679) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.569781160674114 × 6371000     		do = 173.989531879209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23340476--0.23335683) × cos(0.96452948) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.569803603723073 × 6371000     		du = 173.996385134199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96455679)-sin(0.96452948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569781160674114-0.569803603723073)×R²
    abs(-0.23335683--0.23340476)×2.24430489590421e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24430489590421e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24430489590421e-05×40589641000000     		ar = 30273.3845783091m²