Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60667 / 33016
↖ ↑ ↗
← N 66.240312°
W 13.373108°		 ← 123.03 m → N 66.240312°
W 13.370361°		 →
↑
123.02 m
↓
↑
123.02 m
↓
N 66.239206°
W 13.373108°		 ← 123.04 m →
15 136 m²		 N 66.239206°
W 13.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462856292724609 y=0.251895904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462856292724609 × 217)
    floor (0.462856292724609 × 131072)
    floor (60667.5)     		tx = 60667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251895904541016 × 217)
    floor (0.251895904541016 × 131072)
    floor (33016.5)     		ty = 33016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60667 / 33016 ti = "17/60667/33016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60667/33016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60667 ÷ 217
    60667 ÷ 131072     		x = 0.462852478027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33016 ÷ 217
    33016 ÷ 131072     		y = 0.25189208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462852478027344 × 2 - 1) × π
    -0.0742950439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23340476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25189208984375 × 2 - 1) × π
    0.4962158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.55890797564423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23340476} λ = -0.23340476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55890797564423))-π/2
    2×atan(4.75362733288888)-π/2
    2×1.36345393303234-π/2
    2.72690786606469-1.57079632675     		φ = 1.15611154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23340476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.373108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15611154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.240312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60667 KachelY 33016 -0.23340476 1.15611154 -13.373108 66.240312
    Oben rechts KachelX + 1 60668 KachelY 33016 -0.23335683 1.15611154 -13.370361 66.240312
    Unten links KachelX 60667 KachelY + 1 33017 -0.23340476 1.15609223 -13.373108 66.239206
    Unten rechts KachelX + 1 60668 KachelY + 1 33017 -0.23335683 1.15609223 -13.370361 66.239206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15611154-1.15609223) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dl = 123.024009999258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15611154-1.15609223) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dr = 123.024009999258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23340476--0.23335683) × cos(1.15611154) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.40290145361163 × 6371000     		do = 123.030805764802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23340476--0.23335683) × cos(1.15609223) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.402919126885907 × 6371000     		du = 123.036202511712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15611154)-sin(1.15609223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40290145361163-0.402919126885907)×R²
    abs(-0.23335683--0.23340476)×1.76732742765973e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.76732742765973e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.76732742765973e-05×40589641000000     		ar = 15136.0750437543m²