Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60664 / 41277
↖ ↑ ↗
← N 55.283808°
W 13.381347°		 ← 173.91 m → N 55.283808°
W 13.378601°		 →
↑
173.93 m
↓
↑
173.93 m
↓
N 55.282244°
W 13.381347°		 ← 173.91 m →
30 248 m²		 N 55.282244°
W 13.378601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462833404541016 y=0.314922332763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462833404541016 × 217)
    floor (0.462833404541016 × 131072)
    floor (60664.5)     		tx = 60664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314922332763672 × 217)
    floor (0.314922332763672 × 131072)
    floor (41277.5)     		ty = 41277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60664 / 41277 ti = "17/60664/41277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60664/41277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60664 ÷ 217
    60664 ÷ 131072     		x = 0.46282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41277 ÷ 217
    41277 ÷ 131072     		y = 0.314918518066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23354857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314918518066406 × 2 - 1) × π
    0.370162963867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.16290124788294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23354857} λ = -0.23354857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16290124788294))-π/2
    2×atan(3.19920150148879)-π/2
    2×1.26784040147382-π/2
    2.53568080294764-1.57079632675     		φ = 0.96488448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23354857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.381347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96488448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.283808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60664 KachelY 41277 -0.23354857 0.96488448 -13.381347 55.283808
    Oben rechts KachelX + 1 60665 KachelY 41277 -0.23350064 0.96488448 -13.378601 55.283808
    Unten links KachelX 60664 KachelY + 1 41278 -0.23354857 0.96485718 -13.381347 55.282244
    Unten rechts KachelX + 1 60665 KachelY + 1 41278 -0.23350064 0.96485718 -13.378601 55.282244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96488448-0.96485718) × R
    2.73000000000634e-05 × 6371000     		dl = 173.928300000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96488448-0.96485718) × R
    2.73000000000634e-05 × 6371000     		dr = 173.928300000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23354857--0.23350064) × cos(0.96488448) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.569511835603746 × 6371000     		do = 173.907290228992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23354857--0.23350064) × cos(0.96485718) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.569534275531018 × 6371000     		du = 173.914142530737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96488448)-sin(0.96485718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569511835603746-0.569534275531018)×R²
    abs(-0.23350064--0.23354857)×2.24399272720222e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24399272720222e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24399272720222e-05×40589641000000     		ar = 30247.9952535816m²