Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60664 / 41160
↖ ↑ ↗
← N 55.466399°
W 13.381347°		 ← 173.11 m → N 55.466399°
W 13.378601°		 →
↑
173.10 m
↓
↑
173.10 m
↓
N 55.464842°
W 13.381347°		 ← 173.11 m →
29 965 m²		 N 55.464842°
W 13.378601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462833404541016 y=0.314029693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462833404541016 × 217)
    floor (0.462833404541016 × 131072)
    floor (60664.5)     		tx = 60664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314029693603516 × 217)
    floor (0.314029693603516 × 131072)
    floor (41160.5)     		ty = 41160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60664 / 41160 ti = "17/60664/41160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60664/41160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60664 ÷ 217
    60664 ÷ 131072     		x = 0.46282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41160 ÷ 217
    41160 ÷ 131072     		y = 0.31402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23354857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31402587890625 × 2 - 1) × π
    0.3719482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16850986513849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23354857} λ = -0.23354857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16850986513849))-π/2
    2×atan(3.21719501041851)-π/2
    2×1.26943380995139-π/2
    2.53886761990277-1.57079632675     		φ = 0.96807129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23354857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.381347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96807129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.466399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60664 KachelY 41160 -0.23354857 0.96807129 -13.381347 55.466399
    Oben rechts KachelX + 1 60665 KachelY 41160 -0.23350064 0.96807129 -13.378601 55.466399
    Unten links KachelX 60664 KachelY + 1 41161 -0.23354857 0.96804412 -13.381347 55.464842
    Unten rechts KachelX + 1 60665 KachelY + 1 41161 -0.23350064 0.96804412 -13.378601 55.464842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96807129-0.96804412) × R
    2.71700000000763e-05 × 6371000     		dl = 173.100070000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96807129-0.96804412) × R
    2.71700000000763e-05 × 6371000     		dr = 173.100070000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23354857--0.23350064) × cos(0.96807129) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.56688944406332 × 6371000     		do = 173.106511424752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23354857--0.23350064) × cos(0.96804412) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.56691182633382 × 6371000     		du = 173.113346120308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96807129)-sin(0.96804412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56688944406332-0.56691182633382)×R²
    abs(-0.23350064--0.23354857)×2.23822704998877e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23822704998877e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23822704998877e-05×40589641000000     		ar = 29965.3407901698m²