Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60664 / 33624
↖ ↑ ↗
← N 65.558460°
W 13.381347°		 ← 126.35 m → N 65.558460°
W 13.378601°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
N 65.557323°
W 13.381347°		 ← 126.35 m →
15 971 m²		 N 65.557323°
W 13.378601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462833404541016 y=0.256534576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462833404541016 × 217)
    floor (0.462833404541016 × 131072)
    floor (60664.5)     		tx = 60664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256534576416016 × 217)
    floor (0.256534576416016 × 131072)
    floor (33624.5)     		ty = 33624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60664 / 33624 ti = "17/60664/33624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60664/33624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60664 ÷ 217
    60664 ÷ 131072     		x = 0.46282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33624 ÷ 217
    33624 ÷ 131072     		y = 0.25653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23354857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25653076171875 × 2 - 1) × π
    0.4869384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52976234067523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23354857} λ = -0.23354857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52976234067523))-π/2
    2×atan(4.61707939992603)-π/2
    2×1.35750365125605-π/2
    2.7150073025121-1.57079632675     		φ = 1.14421098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23354857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.381347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14421098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.558460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60664 KachelY 33624 -0.23354857 1.14421098 -13.381347 65.558460
    Oben rechts KachelX + 1 60665 KachelY 33624 -0.23350064 1.14421098 -13.378601 65.558460
    Unten links KachelX 60664 KachelY + 1 33625 -0.23354857 1.14419114 -13.381347 65.557323
    Unten rechts KachelX + 1 60665 KachelY + 1 33625 -0.23350064 1.14419114 -13.378601 65.557323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14421098-1.14419114) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14421098-1.14419114) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23354857--0.23350064) × cos(1.14421098) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.413764575325891 × 6371000     		do = 126.347990663606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23354857--0.23350064) × cos(1.14419114) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.413782637261368 × 6371000     		du = 126.353506092889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14421098)-sin(1.14419114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413764575325891-0.413782637261368)×R²
    abs(-0.23350064--0.23354857)×1.80619354765432e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.80619354765432e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.80619354765432e-05×40589641000000     		ar = 15970.8154601653m²