Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60663 / 82939
↖ ↑ ↗
← S 43.058854°
W 13.384094°		 ← 223.16 m → S 43.058854°
W 13.381347°		 →
↑
223.18 m
↓
↑
223.18 m
↓
S 43.060861°
W 13.384094°		 ← 223.15 m →
49 803 m²		 S 43.060861°
W 13.381347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462825775146484 y=0.632778167724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462825775146484 × 217)
    floor (0.462825775146484 × 131072)
    floor (60663.5)     		tx = 60663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632778167724609 × 217)
    floor (0.632778167724609 × 131072)
    floor (82939.5)     		ty = 82939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60663 / 82939 ti = "17/60663/82939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60663/82939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60663 ÷ 217
    60663 ÷ 131072     		x = 0.462821960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82939 ÷ 217
    82939 ÷ 131072     		y = 0.632774353027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462821960449219 × 2 - 1) × π
    -0.0743560791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23359651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632774353027344 × 2 - 1) × π
    -0.265548706054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.834245864087837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23359651} λ = -0.23359651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834245864087837))-π/2
    2×atan(0.43420180516859)-π/2
    2×0.409638770896255-π/2
    0.81927754179251-1.57079632675     		φ = -0.75151878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23359651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.384094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75151878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.058854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60663 KachelY 82939 -0.23359651 -0.75151878 -13.384094 -43.058854
    Oben rechts KachelX + 1 60664 KachelY 82939 -0.23354857 -0.75151878 -13.381347 -43.058854
    Unten links KachelX 60663 KachelY + 1 82940 -0.23359651 -0.75155381 -13.384094 -43.060861
    Unten rechts KachelX + 1 60664 KachelY + 1 82940 -0.23354857 -0.75155381 -13.381347 -43.060861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75151878--0.75155381) × R
    3.50299999999359e-05 × 6371000     		dl = 223.176129999592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75151878--0.75155381) × R
    3.50299999999359e-05 × 6371000     		dr = 223.176129999592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23359651--0.23354857) × cos(-0.75151878) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.730652766065357 × 6371000     		do = 223.160161758541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23359651--0.23354857) × cos(-0.75155381) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.730628848910917 × 6371000     		du = 223.152856843948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75151878)-sin(-0.75155381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730652766065357-0.730628848910917)×R²
    abs(-0.23354857--0.23359651)×2.39171544396122e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39171544396122e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39171544396122e-05×40589641000000     		ar = 49803.2061352876m²