Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60663 / 56071
↖ ↑ ↗
← N 25.147771°
W 13.384094°		 ← 276.48 m → N 25.147771°
W 13.381347°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
N 25.145285°
W 13.384094°		 ← 276.48 m →
76 429 m²		 N 25.145285°
W 13.381347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462825775146484 y=0.427791595458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462825775146484 × 217)
    floor (0.462825775146484 × 131072)
    floor (60663.5)     		tx = 60663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427791595458984 × 217)
    floor (0.427791595458984 × 131072)
    floor (56071.5)     		ty = 56071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60663 / 56071 ti = "17/60663/56071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60663/56071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60663 ÷ 217
    60663 ÷ 131072     		x = 0.462821960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56071 ÷ 217
    56071 ÷ 131072     		y = 0.427787780761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462821960449219 × 2 - 1) × π
    -0.0743560791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23359651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427787780761719 × 2 - 1) × π
    0.144424438476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.453722754903832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23359651} λ = -0.23359651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453722754903832))-π/2
    2×atan(1.5741615084118)-π/2
    2×1.00485386411192-π/2
    2.00970772822384-1.57079632675     		φ = 0.43891140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23359651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.384094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43891140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.147771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60663 KachelY 56071 -0.23359651 0.43891140 -13.384094 25.147771
    Oben rechts KachelX + 1 60664 KachelY 56071 -0.23354857 0.43891140 -13.381347 25.147771
    Unten links KachelX 60663 KachelY + 1 56072 -0.23359651 0.43886801 -13.384094 25.145285
    Unten rechts KachelX + 1 60664 KachelY + 1 56072 -0.23354857 0.43886801 -13.381347 25.145285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43891140-0.43886801) × R
    4.3390000000032e-05 × 6371000     		dl = 276.437690000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43891140-0.43886801) × R
    4.3390000000032e-05 × 6371000     		dr = 276.437690000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23359651--0.23354857) × cos(0.43891140) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.905214804742146 × 6371000     		do = 276.475901597304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23359651--0.23354857) × cos(0.43886801) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.905233242657106 × 6371000     		du = 276.481533011125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43891140)-sin(0.43886801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905214804742146-0.905233242657106)×R²
    abs(-0.23354857--0.23359651)×1.84379149603675e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84379149603675e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84379149603675e-05×40589641000000     		ar = 76429.137957795m²