Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60662 / 40245
↖ ↑ ↗
← N 56.865490°
W 13.386841°		 ← 166.95 m → N 56.865490°
W 13.384094°		 →
↑
166.92 m
↓
↑
166.92 m
↓
N 56.863989°
W 13.386841°		 ← 166.95 m →
27 867 m²		 N 56.863989°
W 13.384094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462818145751953 y=0.307048797607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462818145751953 × 217)
    floor (0.462818145751953 × 131072)
    floor (60662.5)     		tx = 60662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307048797607422 × 217)
    floor (0.307048797607422 × 131072)
    floor (40245.5)     		ty = 40245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60662 / 40245 ti = "17/60662/40245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60662/40245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60662 ÷ 217
    60662 ÷ 131072     		x = 0.462814331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40245 ÷ 217
    40245 ÷ 131072     		y = 0.307044982910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462814331054688 × 2 - 1) × π
    -0.074371337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23364445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307044982910156 × 2 - 1) × π
    0.385910034179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.21237212829084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23364445} λ = -0.23364445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21237212829084))-π/2
    2×atan(3.36144899084773)-π/2
    2×1.2816431783203-π/2
    2.5632863566406-1.57079632675     		φ = 0.99249003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23364445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.386841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99249003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.865490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60662 KachelY 40245 -0.23364445 0.99249003 -13.386841 56.865490
    Oben rechts KachelX + 1 60663 KachelY 40245 -0.23359651 0.99249003 -13.384094 56.865490
    Unten links KachelX 60662 KachelY + 1 40246 -0.23364445 0.99246383 -13.386841 56.863989
    Unten rechts KachelX + 1 60663 KachelY + 1 40246 -0.23359651 0.99246383 -13.384094 56.863989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99249003-0.99246383) × R
    2.61999999999762e-05 × 6371000     		dl = 166.920199999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99249003-0.99246383) × R
    2.61999999999762e-05 × 6371000     		dr = 166.920199999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23364445--0.23359651) × cos(0.99249003) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546606431959189 × 6371000     		do = 166.947673969882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23364445--0.23359651) × cos(0.99246383) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546628371380138 × 6371000     		du = 166.954374833761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99249003)-sin(0.99246383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546606431959189-0.546628371380138)×R²
    abs(-0.23359651--0.23364445)×2.19394209491908e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19394209491908e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19394209491908e-05×40589641000000     		ar = 27867.4983848209m²