Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60662 / 26969
↖ ↑ ↗
← N 72.106851°
W 13.386841°		 ← 93.84 m → N 72.106851°
W 13.384094°		 →
↑
93.78 m
↓
↑
93.78 m
↓
N 72.106008°
W 13.386841°		 ← 93.84 m →
8 801 m²		 N 72.106008°
W 13.384094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462818145751953 y=0.205760955810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462818145751953 × 217)
    floor (0.462818145751953 × 131072)
    floor (60662.5)     		tx = 60662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205760955810547 × 217)
    floor (0.205760955810547 × 131072)
    floor (26969.5)     		ty = 26969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60662 / 26969 ti = "17/60662/26969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60662/26969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60662 ÷ 217
    60662 ÷ 131072     		x = 0.462814331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26969 ÷ 217
    26969 ÷ 131072     		y = 0.205757141113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462814331054688 × 2 - 1) × π
    -0.074371337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23364445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205757141113281 × 2 - 1) × π
    0.588485717773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.84878240764671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23364445} λ = -0.23364445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84878240764671))-π/2
    2×atan(6.35208056738523)-π/2
    2×1.41464915036777-π/2
    2.82929830073554-1.57079632675     		φ = 1.25850197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23364445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.386841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25850197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.106851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60662 KachelY 26969 -0.23364445 1.25850197 -13.386841 72.106851
    Oben rechts KachelX + 1 60663 KachelY 26969 -0.23359651 1.25850197 -13.384094 72.106851
    Unten links KachelX 60662 KachelY + 1 26970 -0.23364445 1.25848725 -13.386841 72.106008
    Unten rechts KachelX + 1 60663 KachelY + 1 26970 -0.23359651 1.25848725 -13.384094 72.106008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25850197-1.25848725) × R
    1.47200000000236e-05 × 6371000     		dl = 93.7811200001504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25850197-1.25848725) × R
    1.47200000000236e-05 × 6371000     		dr = 93.7811200001504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23364445--0.23359651) × cos(1.25850197) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.307242824598397 × 6371000     		do = 93.8398670626483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23364445--0.23359651) × cos(1.25848725) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.307256832575646 × 6371000     		du = 93.8441454594656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25850197)-sin(1.25848725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307242824598397-0.307256832575646)×R²
    abs(-0.23359651--0.23364445)×1.40079772494306e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.40079772494306e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.40079772494306e-05×40589641000000     		ar = 8800.6084503287m²