Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60662 / 26364
↖ ↑ ↗
← N 72.610404°
W 13.386841°		 ← 91.28 m → N 72.610404°
W 13.384094°		 →
↑
91.23 m
↓
↑
91.23 m
↓
N 72.609583°
W 13.386841°		 ← 91.29 m →
8 328 m²		 N 72.609583°
W 13.384094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462818145751953 y=0.201145172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462818145751953 × 217)
    floor (0.462818145751953 × 131072)
    floor (60662.5)     		tx = 60662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201145172119141 × 217)
    floor (0.201145172119141 × 131072)
    floor (26364.5)     		ty = 26364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60662 / 26364 ti = "17/60662/26364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60662/26364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60662 ÷ 217
    60662 ÷ 131072     		x = 0.462814331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26364 ÷ 217
    26364 ÷ 131072     		y = 0.201141357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462814331054688 × 2 - 1) × π
    -0.074371337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23364445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201141357421875 × 2 - 1) × π
    0.59771728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87778423191684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23364445} λ = -0.23364445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87778423191684))-π/2
    2×atan(6.53899989104523)-π/2
    2×1.41904347526316-π/2
    2.83808695052632-1.57079632675     		φ = 1.26729062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23364445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.386841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26729062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.610404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60662 KachelY 26364 -0.23364445 1.26729062 -13.386841 72.610404
    Oben rechts KachelX + 1 60663 KachelY 26364 -0.23359651 1.26729062 -13.384094 72.610404
    Unten links KachelX 60662 KachelY + 1 26365 -0.23364445 1.26727630 -13.386841 72.609583
    Unten rechts KachelX + 1 60663 KachelY + 1 26365 -0.23359651 1.26727630 -13.384094 72.609583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26729062-1.26727630) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dl = 91.2327200000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26729062-1.26727630) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dr = 91.2327200000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23364445--0.23359651) × cos(1.26729062) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298867513455687 × 6371000     		do = 91.2818314591561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23364445--0.23359651) × cos(1.26727630) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298881178923909 × 6371000     		du = 91.2860052449003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26729062)-sin(1.26727630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298867513455687-0.298881178923909)×R²
    abs(-0.23359651--0.23364445)×1.36654682219572e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36654682219572e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36654682219572e-05×40589641000000     		ar = 8328.08016374869m²