Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60661 / 41283
↖ ↑ ↗
← N 55.274422°
W 13.389588°		 ← 173.98 m → N 55.274422°
W 13.386841°		 →
↑
173.93 m
↓
↑
173.93 m
↓
N 55.272857°
W 13.389588°		 ← 173.99 m →
30 261 m²		 N 55.272857°
W 13.386841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462810516357422 y=0.314968109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462810516357422 × 217)
    floor (0.462810516357422 × 131072)
    floor (60661.5)     		tx = 60661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314968109130859 × 217)
    floor (0.314968109130859 × 131072)
    floor (41283.5)     		ty = 41283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60661 / 41283 ti = "17/60661/41283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60661/41283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60661 ÷ 217
    60661 ÷ 131072     		x = 0.462806701660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41283 ÷ 217
    41283 ÷ 131072     		y = 0.314964294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462806701660156 × 2 - 1) × π
    -0.0743865966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23369239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314964294433594 × 2 - 1) × π
    0.370071411132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.16261362648522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23369239} λ = -0.23369239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16261362648522))-π/2
    2×atan(3.19828147499734)-π/2
    2×1.26775848989626-π/2
    2.53551697979252-1.57079632675     		φ = 0.96472065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23369239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.389588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96472065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.274422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60661 KachelY 41283 -0.23369239 0.96472065 -13.389588 55.274422
    Oben rechts KachelX + 1 60662 KachelY 41283 -0.23364445 0.96472065 -13.386841 55.274422
    Unten links KachelX 60661 KachelY + 1 41284 -0.23369239 0.96469335 -13.389588 55.272857
    Unten rechts KachelX + 1 60662 KachelY + 1 41284 -0.23364445 0.96469335 -13.386841 55.272857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96472065-0.96469335) × R
    2.72999999999524e-05 × 6371000     		dl = 173.928299999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96472065-0.96469335) × R
    2.72999999999524e-05 × 6371000     		dr = 173.928299999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23369239--0.23364445) × cos(0.96472065) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.569646493456715 × 6371000     		do = 173.984701802409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23369239--0.23364445) × cos(0.96469335) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.569668930836461 × 6371000     		du = 173.991554755721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96472065)-sin(0.96469335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569646493456715-0.569668930836461)×R²
    abs(-0.23364445--0.23369239)×2.24373797453881e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24373797453881e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24373797453881e-05×40589641000000     		ar = 30261.4593736382m²