Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60661 / 26989
↖ ↑ ↗
← N 72.089966°
W 13.389588°		 ← 93.93 m → N 72.089966°
W 13.386841°		 →
↑
93.91 m
↓
↑
93.91 m
↓
N 72.089122°
W 13.389588°		 ← 93.93 m →
8 821 m²		 N 72.089122°
W 13.386841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462810516357422 y=0.205913543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462810516357422 × 217)
    floor (0.462810516357422 × 131072)
    floor (60661.5)     		tx = 60661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205913543701172 × 217)
    floor (0.205913543701172 × 131072)
    floor (26989.5)     		ty = 26989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60661 / 26989 ti = "17/60661/26989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60661/26989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60661 ÷ 217
    60661 ÷ 131072     		x = 0.462806701660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26989 ÷ 217
    26989 ÷ 131072     		y = 0.205909729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462806701660156 × 2 - 1) × π
    -0.0743865966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23369239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205909729003906 × 2 - 1) × π
    0.588180541992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.8478236696543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23369239} λ = -0.23369239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8478236696543))-π/2
    2×atan(6.34599350482981)-π/2
    2×1.41450180047907-π/2
    2.82900360095813-1.57079632675     		φ = 1.25820727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23369239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.389588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25820727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.089966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60661 KachelY 26989 -0.23369239 1.25820727 -13.389588 72.089966
    Oben rechts KachelX + 1 60662 KachelY 26989 -0.23364445 1.25820727 -13.386841 72.089966
    Unten links KachelX 60661 KachelY + 1 26990 -0.23369239 1.25819253 -13.389588 72.089122
    Unten rechts KachelX + 1 60662 KachelY + 1 26990 -0.23364445 1.25819253 -13.386841 72.089122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25820727-1.25819253) × R
    1.47399999999021e-05 × 6371000     		dl = 93.908539999376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25820727-1.25819253) × R
    1.47399999999021e-05 × 6371000     		dr = 93.908539999376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23369239--0.23364445) × cos(1.25820727) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.307523256952684 × 6371000     		do = 93.9255183219763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23369239--0.23364445) × cos(1.25819253) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.307537282627201 × 6371000     		du = 93.9298021239947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25820727)-sin(1.25819253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307523256952684-0.307537282627201)×R²
    abs(-0.23364445--0.23369239)×1.40256745169154e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.40256745169154e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.40256745169154e-05×40589641000000     		ar = 8820.60943725391m²