Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60660 / 84466
↖ ↑ ↗
← S 46.046548°
W 13.392334°		 ← 211.94 m → S 46.046548°
W 13.389588°		 →
↑
211.96 m
↓
↑
211.96 m
↓
S 46.048455°
W 13.392334°		 ← 211.94 m →
44 923 m²		 S 46.048455°
W 13.389588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462802886962891 y=0.644428253173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462802886962891 × 217)
    floor (0.462802886962891 × 131072)
    floor (60660.5)     		tx = 60660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644428253173828 × 217)
    floor (0.644428253173828 × 131072)
    floor (84466.5)     		ty = 84466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60660 / 84466 ti = "17/60660/84466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60660/84466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60660 ÷ 217
    60660 ÷ 131072     		x = 0.462799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84466 ÷ 217
    84466 ÷ 131072     		y = 0.644424438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.07440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23374032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644424438476562 × 2 - 1) × π
    -0.288848876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.907445509807663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23374032} λ = -0.23374032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907445509807663))-π/2
    2×atan(0.40355378265495)-π/2
    2×0.383566223622888-π/2
    0.767132447245776-1.57079632675     		φ = -0.80366388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23374032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.392334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80366388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.046548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60660 KachelY 84466 -0.23374032 -0.80366388 -13.392334 -46.046548
    Oben rechts KachelX + 1 60661 KachelY 84466 -0.23369239 -0.80366388 -13.389588 -46.046548
    Unten links KachelX 60660 KachelY + 1 84467 -0.23374032 -0.80369715 -13.392334 -46.048455
    Unten rechts KachelX + 1 60661 KachelY + 1 84467 -0.23369239 -0.80369715 -13.389588 -46.048455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80366388--0.80369715) × R
    3.32699999999742e-05 × 6371000     		dl = 211.963169999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80366388--0.80369715) × R
    3.32699999999742e-05 × 6371000     		dr = 211.963169999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23374032--0.23369239) × cos(-0.80366388) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.694073732297238 × 6371000     		do = 211.943763863968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23374032--0.23369239) × cos(-0.80369715) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.694049780709689 × 6371000     		du = 211.936449958573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80366388)-sin(-0.80369715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694073732297238-0.694049780709689)×R²
    abs(-0.23369239--0.23374032)×2.3951587548976e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3951587548976e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3951587548976e-05×40589641000000     		ar = 44923.496915127m²