Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60660 / 41284
↖ ↑ ↗
← N 55.272857°
W 13.392334°		 ← 173.96 m → N 55.272857°
W 13.389588°		 →
↑
173.99 m
↓
↑
173.99 m
↓
N 55.271293°
W 13.392334°		 ← 173.96 m →
30 267 m²		 N 55.271293°
W 13.389588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462802886962891 y=0.314975738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462802886962891 × 217)
    floor (0.462802886962891 × 131072)
    floor (60660.5)     		tx = 60660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314975738525391 × 217)
    floor (0.314975738525391 × 131072)
    floor (41284.5)     		ty = 41284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60660 / 41284 ti = "17/60660/41284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60660/41284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60660 ÷ 217
    60660 ÷ 131072     		x = 0.462799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41284 ÷ 217
    41284 ÷ 131072     		y = 0.314971923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.07440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23374032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314971923828125 × 2 - 1) × π
    0.37005615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1625656895856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23374032} λ = -0.23374032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1625656895856))-π/2
    2×atan(3.198128162974)-π/2
    2×1.26774483608396-π/2
    2.53548967216792-1.57079632675     		φ = 0.96469335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23374032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.392334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96469335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.272857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60660 KachelY 41284 -0.23374032 0.96469335 -13.392334 55.272857
    Oben rechts KachelX + 1 60661 KachelY 41284 -0.23369239 0.96469335 -13.389588 55.272857
    Unten links KachelX 60660 KachelY + 1 41285 -0.23374032 0.96466604 -13.392334 55.271293
    Unten rechts KachelX + 1 60661 KachelY + 1 41285 -0.23369239 0.96466604 -13.389588 55.271293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96469335-0.96466604) × R
    2.73100000000026e-05 × 6371000     		dl = 173.992010000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96469335-0.96466604) × R
    2.73100000000026e-05 × 6371000     		dr = 173.992010000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23374032--0.23369239) × cos(0.96469335) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.569668930836461 × 6371000     		do = 173.955261148157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23374032--0.23369239) × cos(0.96466604) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.569691376010225 × 6371000     		du = 173.962115051981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96469335)-sin(0.96466604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569668930836461-0.569691376010225)×R²
    abs(-0.23369239--0.23374032)×2.24451737639297e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24451737639297e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24451737639297e-05×40589641000000     		ar = 30267.4218014083m²